Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Аксиома зависимого выбора

Из Википедии — свободной энциклопедии

Аксиома зависимого выбора — одно из ослаблений аксиомы выбора. Обычно обозначается как . Аксиома зависимого выбора следует из полной аксиомы выбора и влечёт за собой аксиому счётного выбора, таким образом, в .

Формулировка: если задано произвольное непустое множество с полным слева отношением (отношение называется полным слева, если для любого существует , что ), то существует такая последовательность элементов , что[1]:

.

Следующие утверждения эквивалентны в аксиоме зависимого выбора: теорема Бэра о категориях[2]; теорема Лёвенгейма — Скулема (в сильном варианте для счётных или конечных сигнатур)[3][4]; лемма Цорна для конечных цепей. У леммы Цорна для конечных цепей есть две эквивалентных формулировки:

  • если в частично упорядоченном множестве все цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.[1];
  • если в частично упорядоченном множестве все вполне-упорядоченные цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.[5]

(Несмотря на то, что вторая формулировка сильнее, чем первая, они эквивалентны в .)

Обобщения

Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей: если в формулировке аксиомы зависимого выбора допустить не только счётные последовательности, но и трансфинитные, можно получить усиление этой аксиомы.

Пусть  — некоторый ординал. Обозначим за множество всех трансфинитных последовательностей длины меньше . Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей формулируется для определённого начального ординала и обозначается как .

Пусть задано непустое множество и полное слева бинарное отношение . Тогда утверждает, что существует трансфинитная последовательность длины такая, что [5].

Аксиома эквивалентна . Обобщения же для больших ординалов строго сильнее её, но слабее полной аксиомы выбора: . Выполнение же для любых начальных ординалов эквивалентно полной аксиоме выбора: [6].

Для аксиом есть соответствующие им эквивалентные ослабления леммы Цорна:

  • если в частично упорядоченном множестве все цепи вполне упорядочены, имеют порядковый тип меньше и имеют верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент[5];
  • если в частично упорядоченном множестве каждая вполне упорядоченная цепь имеет порядковый тип меньше и имеет верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент[5].

Примечания

  1. 1 2 Wolk, 1983, с. 365.
  2. Blair, 1977.
  3. Moore, 1982, с. 325.
  4. Boolos, 1989, с. 155.
  5. 1 2 3 4 Wolk, 1983, с. 366.
  6. Wolk, 1983, с. 367.

Литература

  • Wolk Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin : журнал. — 1983. — Vol. 26, no. 3. — P. 365–367. — doi:10.4153/CMB-1983-062-5.
  • Blair Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. : журнал. — 1977. — Т. 25, № 10. — С. 933–934.
  • Moore Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. — Springer, 1982. — ISBN 0-387-90670-3.
  • Boolos George S., Jeffrey Richard C. Computability and Logic. — 3rd. — Cambridge University Press, 1989. — ISBN 0-521-38026-X.
Эта страница в последний раз была отредактирована 25 апреля 2024 в 11:07.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).