Аксиома степени

Аксиома степени — аксиома теории множеств, согласно которой на основе любого множества можно образовать множество его подмножеств, то есть такое множество ${\displaystyle d}$, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$. В символьном виде эта аксиома записывается так:

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )}$

Аксиома степени задаёт тип множеств (подмножества множества ${\displaystyle a}$), которые должны быть элементами образуемого множества ${\displaystyle d}$. Вместе с тем она не указывает алгоритма нахождения всех элементов образуемого множества ${\displaystyle d}$.

Аксиому степени можно вывести из следующих высказываний:

• ${\displaystyle \exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)}$

• ${\displaystyle \forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)}$

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы степени, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность множества всех подмножеств для каждого множества ${\displaystyle a}$. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома степени равносильна высказыванию

${\displaystyle \forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, что есть ${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b:b\subseteq a\})\ )}$.

Альтернативные формулировки аксиомы

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, где ${\displaystyle b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)}$

${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})}$

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))}$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Множество всех подмножеств

Эта страница в последний раз была отредактирована 6 октября 2023 в 17:07.