Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Аксиоматика Гильберта

Из Википедии — свободной энциклопедии

Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.

Неопределяемые понятия

Неопределяемыми понятиями в системе аксиом Гильберта являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных отношения:

  • Лежать между, применимо к точкам;
  • Принадлежать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;
  • Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается инфиксным символом ≅.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено иное.

Аксиомы

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:

  • аксиомы принадлежности:
    • планиметрические:
      1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
      2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
      3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
    • стереометрические:
      1. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
      2. Каковы бы ни были три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.
      3. Если две различные точки A и B, принадлежащие прямой a, принадлежат некоторой плоскости α, то каждая точка, принадлежащая прямой a, принадлежит указанной плоскости.
      4. Если существует одна точка A, принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B, принадлежащая обеим этим плоскостям.
      5. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
  • аксиомы порядка:
    • линейные:
      1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной прямой, причём В лежит также и между С и А.
      2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что B лежит между А и C, и по крайней мере одна точка D, такая что C лежит между A и D.
      3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой, всегда одна и только одна точка лежит между двумя другими.
    • Планиметрическая:
      1. Аксиома Паша: Пусть A, B, C — три не лежащие на одной прямой точки и a — прямая в плоскости (ABC), не проходящая ни через одну из точек A, B, C; если при этом прямая a проходит через точку отрезка AB, то она непременно проходит через точку отрезка AC или точку отрезка BC.
  • аксиомы конгруэнтности:
    • линейные:
      1. Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.
      2. Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
      3. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ — два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’.
    • планиметрические:
      1. Если даны угол ∠ABC в плоскости а и луч B’C' в плоскости а', тогда в плоскости a' существует ровно один луч B’D по определённую сторону от B’C' (и соответственно второй луч B'E по другую сторону от B'C'), такой, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC (и соответственно ∠EB’C' ≅ ∠ABC). Следствие: Каждый угол конгруэнтен сам себе
      2. Если для двух треугольников ABC и A’B'C' имеют место конгруэнции: AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ABC ≅ ∠A’B'C', ∠ACB ≅ ∠A’C'B'.
  • аксиома параллельности, для которой Гильберт выбрал не евклидовскую формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла:
    • планиметрические
      1. Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a.
  • аксиомы непрерывности
    • линейные
      1. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, , A0 совпадает с A, и B лежит между A и An.
      2. «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.

21-я аксиома

Гильберт изначально (1899) включил 21-ю аксиому:

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D».

Элиаким Гастингс Мур и Роберт Ли Мур в 1902 году независимо доказали, что эта аксиома избыточна.

Полнота и непротиворечивость

Как доказал Альфред Тарский (1951), аксиоматика Гильберта логически полна, то есть любое (формальное) высказывание о содержащихся в ней геометрических понятиях может быть доказано или опровергнуто. Она также непротиворечива, если непротиворечива арифметика[1][2].

История

Аксиоматическая схема евклидовой геометрии была опубликована Давидом Гильбертом в 1899 году в праздничном томе «Festschrift», посвящённом открытию в Гёттингене памятника Карлу Фридриху Гауссу и его другу физику Вильгельму Веберу. Ныне «Основания геометрии» изданы на многих языках мира, одно из двух изданий на русском языке указано внизу в ссылках.

Другие системы аксиом

Создатели догильбертовских систем:

Родственные гильбертовой:

Более современные аксиоматики:

Ссылки

Примечания

  1. Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. Геометрия. — С. 41—48. — 568 с.
  2. Гильберта система аксиом. Дата обращения: 10 сентября 2017. Архивировано 20 июля 2018 года.
Эта страница в последний раз была отредактирована 15 января 2024 в 11:01.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).