Эпсилон

Субтитры

Здравствуйте! Для начала давайте нарисуем график функции, предел которой нам надо будет найти. Итак, вот ось у, а вот ось х. Теперь изобразим нашу функцию. Допустим, это будет прямая и какая-то точка не входит в значения функции. Например, эта точка не входит в значения функции. Координаты данной точки: х=а, как вы поняли, это ось х, а это ось у, у=f(x). Нет, это будет просто ось у. А сам график мы обозначим как f(x), у=f(х). У нас уже было много видео, посвященных пределам. И я думаю, вы уже догадываетесь, что нужно делать. Если я спрошу у вас: «Чему равен предел данной функции при х стремящемся к а?» Что вы мне ответите? Давайте отметим, что в этой точке у=L. Итак, что мы можем сказать по этому поводу, используя знания, полученные на предыдущих уроках? Давайте для начала запишем предел. Предел f(х) при х стремящемся к а. Что значит эта запись? Если х стремится к а слева, то к чему стремится функция f(x)? Если х здесь, то f(x) находится вот здесь. А если х здесь, то f(x) уже вот здесь. Как вы видите, при х стремящемся к а, f(x) стремится к L. Так получается в случае, если х стремится к а слева. А что же будет, если х будет стремится к а справа? Вы ведь заметили, что мы записали одно выражение для предела слева и для предела справа. В обоих случаях значения пределов одинаковые. Поэтому нам достаточно одного предела. Но все-таки, к чему будет стремиться функция, если х будет стремиться к а справа? Итак, если х здесь, то f(x) вот здесь. А если х здесь, то f(x) вот здесь. А значит, при х стремящемся к а, функция f(x) стремится к L. Таким образом, здесь мы можем записать, что предел функции f(x) при х стремящемся к а равен L. Да, на интуитивном уровне, возможно, так оно и есть. Но это не совсем точно, если брать во внимание, что мы подразумеваем под пределом. Мы выяснили только то, что, если х стремится к а, то функция f(x) стремится к L. На этом уроке я приведу более строгое с математической точки зрения определение предела. А не просто: если х стремится к а, то f(x) стремится к какому-то значению. Давайте рассмотрим это определение. Исходя из вот этого выражения, я могу придавать х любые значения, которые больше а. Я не говорю сейчас об области определения. Я имею в виду, что если мы берем какое-то значение х, которое находится на некотором расстоянии от а, то я могу гарантировать, что значение f(x) не будет находиться дальше этого расстояния от L. Допустим, вы мне не верите и хотите узнать, а будет ли данное выражение действительно, если расстояние от L будет равно 0,5. Допустим, вы задаете мне значение 0,5. А согласно определению все допустимые значения х должны быть больше или меньше а. Это и будет диапазон значений х вокруг а. А значит, f(x) должно быть на расстоянии меньше чем 0,5 от L. Следовательно, все значения функции f(x) будут находиться в этом промежутке. И до тех пор, пока я придаю х значения, которые стремятся к а, значения f(x) будут стремиться к L. Давайте я, наверное, нарисую график покрупней, а то на этом уже ничего не понятно. Вот наша функция f(x), а это точка, которая не входит в значения функции. Конечно же, этой точки может и вовсе не быть, но с ней предел интересней. Давайте и оси нарисуем. Итак, это ось х, а это ось у. Это точка L, а это точка а. Теперь согласно определению предела, определению на языке эпсилон-дельта, к которому мы скоро обратимся, функция f(x) равна ... Вы задаете мне любое расстояние от L. Давайте обозначим его через ε. Итак, значения функции должны находиться не дальше, чем на расстоянии ε от L. ε может быть любое число больше 0-ля, любое действительное число. Итак, вот это расстояние может быть ε и вот это расстояние также может быть ε. Значит, это - точка L+ε, а это - точка L-ε. Таким образом, согласно определению предела на языке эпсилон-дельта, неважно, какое значение ε дается, можно всегда точно определить интервал, серединой которого является точка а. Обозначим этот интервал через δ. Эта буква называется «дельта». Значит, если значение х находится в этом промежутке от а-δ до а+δ, я могу гарантировать, что соответствующее значение функции f(x) будет находиться в промежутке от L-ε до L+ε. Другими словами, мы можем приблизиться к L настолько близко, насколько вы хотите. Под словами «насколько вы хотите» я подразумеваю значение ε, заданное вами. Мы можем приблизиться к L, обозначив диапазон значений, которые принимает х, в окрестностях точки а, к которой он стремится. И пока вы берете значения х из этой области, можно быть уверенным, что f(x) будет находиться в промежутке, который вы определили. Теперь, чтобы вы окончательно во всем разобрались, давайте возьмем конкретные числа. Сейчас вы убедитесь в том, что это определение как игра. Допустим, здесь у нас число 2, а здесь – единица. Итак, предел f(x) при х стремящемся к единице равен 2-ум. Это значит, что вы можете задать мне любое значение ε, к примеру, ε=0,5. Тогда, значения функции будут находиться на промежутке между 1,5 и 2,5. И пока вы берете значения х из промежутка между, ну предположим, 0,9 и 1,1, в этом случае δ=0,1, я могу гарантировать, что соответствующие значения f(x) будут находиться именно в этой ε-окрестности. А теперь давайте запишем определение предела через ε и δ, которое вы можете встретить в учебниках по высшей математике. А затем мы рассмотрим пару примеров. Но перед этим давайте кое-что проясним. Мы только что рассмотрели особенный пример. Вы дали мне значение ε, а я, в свою очередь, дала подходящее значение δ. Но согласно определению, если это выражение истинно, то это работает не только для особого значения, а для любого значения ε, которое вы мне зададите. И я всегда смогу предоставить вам диапазон значений х вокруг числа, к которому х стремится. И когда вы будете брать х из этой области, то f(x) будет находиться в этом промежутке. Я не могу этого гарантировать только в одном случае, если мы возьмем значение х=а. Для любых других значений из этого интервала принцип работает. Давайте запишем определение, которое часто встречается в учебниках. Итак, вы даете мне любое ε, которое больше 0-ля. В любом случае это определение предела. Итак, если кто-то пишет вот такое выражение, то это значит, вы можете задать этому кому-то любое число ε больше 0-ля. Тогда вам зададут δ, область всех значений х вокруг точки, к которой стремится х. Давайте еще раз запишем предел: предел f(x) при х, стремящемся к а. Итак, вам задано значение δ. Тогда расстояние между х и а, если х мы возьмем вот здесь, будет больше 0-ля. Обратите внимание: больше, а не больше или равно, поскольку в точке а функция не определена. И это же расстояние будет меньше δ. Давайте изобразим эту часть покрупнее. Итак, это а, а это δ. Это расстояние также будет равно δ. И пока вы берете значения х из этого промежутка, это значение, либо это значение, либо это и так далее, я могу гарантировать, что расстояние между функцией f(x) и L будет меньше ε. Т.е. меньше значения, которое вы задали. Другими словами, если мы берем значения х из этого промежутка, то соответствующие значения функции будут находиться не дальше, чем на расстоянии ε от L. Я понимаю, что это кажется очень-очень сложным. Но данное определение более точное с математической точки зрения. То обозначение предела, которое мы приводили ранее, было скорее на интуитивном уровне. И я думаю, определение на языке эпсилон-дельта еще пригодится вам в будущем в изучение более сложных математических понятий. Ранее мы говорили, что если х стремится к определенной точке а, то функция стремится к определенной точке L. А, исходя из этого определения, вы говорите, что хотите находиться очень близко к точке L, не дальше чем на расстоянии 0,001 от L. В этом случае я всегда смогу предоставить вам промежуток значений х, для которых соответствующие значения функции находятся в заданной вами ε-окрестности. На этом наше время заканчивается. На следующем уроке мы будем искать пределы, используя новое определение. До скорой встречи!