Variedad casi compleja

En matemáticas, una variedad casi compleja es una variedad diferenciable M equipada en cada espacio tangente ${\displaystyle T_{p}M}$ con una estructura compleja ${\displaystyle J_{p}}$ que varía de forma diferenciable de punto a punto. Esta estructura compleja convierte a cada espacio tangente en un espacio vectorial complejo.

La existencia de esta estructura es una condición necesaria, pero no suficiente, para que la variedad sea una variedad compleja. Así, toda variedad compleja es una variedad casi compleja, pero no viceversa.

Las variedades casi complejas tienen importantes aplicaciones en geometría simpléctica.

Definición formal

Sea M una variedad diferenciable. Una estructura casi compleja ${\displaystyle J}$ sobre M es un campo de tensores diferenciable de rango (1,1) que verifica que el endomorfimo ${\displaystyle J_{p}:T_{p}M\longrightarrow {}T_{p}M}$ que induce en cada espacio tangente es una estructura compleja (esto, es, que se cumple que ${\displaystyle J_{p}^{2}=-1}$, donde 1 es la aplicación identidad sobre ${\displaystyle T_{p}M}$).

Al par ${\displaystyle (M,J)}$ formado por una variedad equipada con una estructura casi compleja fija se le denomina una variedad casi compleja.

Ejemplos

Se demuestra que toda variedad casi compleja debe ser de dimensión par y orientable.

• Para todo natural n, ${\displaystyle R^{2n}}$ admite una estructura casi compleja, por ejemplo la definida por:

${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j+1}}$ para i impar,

${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j-1}}$ para i par,

donde ${\displaystyle 1\leq i,j\leq 2n}$.

• Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son S² y S⁶. En el caso de S², dicha estructura proviene de la estructura compleja de la esfera de Riemann. La 6-esfera, S⁶, considerada como el conjunto de los octoniones imaginarios de norma 1, hereda una estructura casi compleja que proviene del producto de octoniones.
• Dada (M,J) variedad casi compleja, (M,-J) es también una variedad casi compleja. A la estructura compleja -J se le llama conjugada de la estructura compleja J

Referencias

• da Silva, A.C., Lectures on Symplectic Geometry, Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5.
• Kobayashi,S. , Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry', Interscience Publishers (1969). ISBN 0-470-49648-7. Capítulo IX sobre variedades complejas (y casi complejas).
• Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0. Sección breve que introduce el material estándar básico.

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