Matriz traspuesta conjugada

Para la matriz utilizada para calcular la inversa de una matriz, véase matriz de adjuntos.

En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz $A$ , es una matriz $A^{\dagger }$ (también denotada como $A^{*}$ , o como $A^{H}$ ) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz $A=(a_{ij})\in \mathbb {C}$ es definido como $A^{*}=({\bar {a}}_{ji})$ , que es el traspuesto de $A$ y todos los elementos $a_{ij}$ conjugados. Nota que si $A=(a_{ij})\in \mathbb {R} \Rightarrow A^{*}=A^{T}$ , es decir, si los elementos de $A$ son reales, la adjunta de $A$ coincide con su traspuesta. También nombrado hermítico adjunto, la hermítica o hermítico conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

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¡Hola chicos, ¿qué tal? Gracias por venir a clase otra vez. Hoy vamos a hacer un ejercicio de matrices. ¿Vale? Esto corresponde a segundo de Bachillerato y en este caso me piden la inversa de la matriz A. Hay dos métodos tradicionalmente para hallar la inversa de una matriz: uno es utilizando Gauss y el otro es utilizando determinantes, la adjunta de cada uno de estos términos... Vamos a hacerlo por el segundo método, no vamos a hacerlo por Gauss. Si alguno tiene intención de que se lo explique, por favor que me lo pidan en Facebook o en el canal de Unicoos y ya está. ¿Vale? ¿Qué hay que hacer para hallar la inversa de una matriz? ¡Importantísimo, eh, además! La inversa de una matriz tiene una fórmulita, además se representa así A elevado a la menos uno, No es uno partido entre A. ¡Cuidado con estos fallos! No se pueden dividir matrices. No puedes dividir algo entre una matriz. Es la inversa de A. Y la inversa de A tiene una formulita que es: uno partido entre el determinante de A - ahora vemos el determinante- por la adjunta de la traspuesta. Ahora explico que es la adjunta y ahora explico que es la transpuesta. También se puede hacer la transpuesta de la adjunta, es lo mismo. Lo primero que hay que hacer es el determinante, ¿por qué? Porque si el determinante de A es cero no podré hacer la inversa y no será... La matriz no será invertible. No podrá ser invertible si el determinante es cero, porque uno entre cero me quedará infinito y entonces no existirá la inversa. Entonces, lo primero que hay que hacer siempre para calcular la inversa de una matriz, es hacer el determinante. Si es cero, la matriz no es invertible. ¿Cómo hacemos el determinante de esta matriz? Utilizando Sarrus ¿Vale? Recordad que es: esta primera diagonal, cero por cero por uno, cero. Y ahora estos dos de aquí, por el que está justo al otro lado ¿Vale? Uno por cero por cero, cero. Y ahora estos dos de aquí por el que está al otro lado; uno, por cero por uno, cero. ¡Uf, todos ceros, qué miedo! Menos... ¿menos qué? Lo mismo que hemos hecho ahora, pero en sentido contrario. Es decir, este. Sería: uno por cero por cero, cero. Más, estos dos con aquel; cero, por cero, por cero cero. Y estos dos con el que está al otro lado: uno, por uno, por uno, uno. Espero que os quede claro ¿Vale? Cero, más cero, más cero, cero, esto me queda: menos uno. Por tanto, esta matriz A sí tiene inversa. El determinante vale menos uno, no es cero. ¿Hasta aquí bien? ¡Perfecto! Ya tenemos el determinante y como tenemos el determinante vamos a calcular la traspuesta. ¿Qué es la traspuesta de una matriz? Cambiar sus filas por sus columnas. Me explico... Esto es una fila: cero, uno, uno. Pues ahora va a convertirse en una columna, en lugar de ser cero, uno, uno en una fila, va a ser cero, uno, uno en una columna. ¿Fácil? La segunda fila: uno, cero, cero. Es una fila, la convierto en una columna. Uno, cero, cero... uno, cero, cero. Cero, cero, uno, una fila, la convierto en una columna: cero, cero y uno. ¿Os ha quedado claro? Traspuesta de una matriz. ¿Fácil? ¡Vale! ¿Qué hay que hacer ahora? Solo nos falta hallar el último paso hay que hacer la adjunta de esa traspuesta. ¿Qué es la matriz adjunta? La voy a hacer muy despacito ¿Vale? Muy despacito y muy grande además. ¡Ahí! ¿Bien? ¡Mirad! La adjunta de una transpuesta es una matriz... ...La adjunta de una matriz, es otra matriz que va a estar compuesta por: en este caso 9 determinantes, teniendo siempre en cuenta claro que... a este, a este, a este y a este (forman un rombo). ¿Los veis no? A este, a este, a este y a este determinante hay que cambiar de signo al resultado. ¿Qué determinante? Mirad, el determinante -este primero- es el elemento uno, uno... fila uno, columna uno; fila uno, columna dos; fila uno, columna tres. Este sería el adjunto de uno, uno; el adjunto del uno, dos; el adjunto del uno, tres. Bueno, pues, es el adjunto del uno, uno, es el determinante que me sale de eliminar la fila y la columna del uno, uno. Justo la de ahí y me quedaría ese determinante. Me quedaría, el cero, cero, cero, uno. ¿Le véis? Quito, su fila y su columna, y me queda, cero, cero, cero, uno. cero, cero, cero, uno. ¿Cómo hago el adjunto del segundo? Quito, su fila y su columna, y me queda uno, cero, uno, uno. ¿Fácil? ¡Vale! El adjunto este de aquí, quito, su fila y su columna y sería el uno, cero, uno, cero. ¿Lo habéis visto? Este de aquí... Este adjunto sería... ¿Lo véis no? ¿Más o menos? El uno, cero, cero, uno. Y como ya lo he explicado bien, lo voy a tratar de hacer rapidito. Este sería el cero, cero, uno, uno. El de aquí sería, el cero, uno, uno, cero. El de aquí sería el uno, cero, cero, cero. El de aquí sería, el cero, cero, uno, cero. Y el último sería, cero, uno, uno, cero. ¿Vale? Cuando ya tenemos esto, lo único que hay que hacer son determinantes.¿Cómo se hace un determinante de dos por dos? Un determinante de dos por dos -- os lo explico por si no sabéis -- es muy parecido a uno de tres por tres, pero mucho más corto. Sería... esta diagonal, menos el resultado de esa. Esa diagonal multiplicada sería cero por uno, cero. Menos, el resultado de esa diagonal, cero. ¿Vale? Esto sería, el primero sería, cero. De todas maneras aprovecho y os explico propiedades de los determinantes, que dice que... Si una fila o una columna son ceros, todos ceros, el determinante es cero; Y si tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante también es cero. Este determinante es cero, porque tiene dos columnas dos filas iguales ¡Vale! Este determinante es cero, porque tiene una fila de ceros ¿La véis o no? Y bueno, los otros los voy haciendo.. Uno por uno, menos uno por cero, esto es uno. Pero, hay que cambiarle de signo, menos uno. Si nos hubiera quedado menos uno, pondríamos más uno. Este de aquí es uno por uno, pero hay que cambiarle de signo, menos uno. Este de aquí es menos uno, con este menos delante, más uno. Este sería cero, tiene una fila de ceros. Este sería menos..., este sería cero, tiene una fila de ceros. Y este sería... menos uno. ¿Os ha quedado claro? Adjunta de la traspuesta. Si al principio no lo haceis tan rápido como yo, ponérosla, ¡Vale! empezar desde aquí e intentar hacer el ejercicio sin mirar a ver si os queda lo mismo que a mí. Es una buena forma de practicar... Los ejercicios de matrices, ya aviso, son ejercicios muy largos que exigen mucho cálculo mental y es muy fácil confundirse en un signo, o una operación. Operaciones muy simples: son sumas, restas y multiplicaciones. Es muy fácil confundirse, la mejor manera es practicar mucho y que vuestra cabecita, adquiera mucho cálculo mental, mucho cálculo matemático. Entonces, será más difícil que os confundáis. Como siempre practicad, cuanto más practiquéis, pues mejor os saldrán las cosas. ¿Bien? Bueno, pues ya nos queda el último paso, y el último paso es con el resultado. La inversa será: uno partido entre el determinante, y el determinante nos quedaba menos uno -- lo voy a poner despacito -- por, la matriz que nos ha quedado. Cero, menos uno, cero, menos uno, cero, uno, cero, cero, menos uno. Si esto te queda uno partido entre ocho, por ejemplo, se suele dejar el resultado así. Un octavo, por todo esto de aquí, pero como en este caso es sencillo, uno entre menos uno es menos uno. Me quedaría menos uno, por todo esto. Os recuerdo que un número por una matriz, multiplica a todos los elementos de la matriz y me quedaría: uno entre menos uno, cambia de signo a todos. ¿De acuerdo? ¿Bien? ¡Perfecto! Solución del ejercicio, la inversa. ¿Vale? Bueno, luego, ahora os explicaré en otro video, para aprovechar y multiplicar, que si yo multiplico una matriz por su inversa me tiene que dar una matriz identidad. Es decir, si yo multiplico mi matriz original por esta matriz de aquí, me tiene que quedar esta matriz. Uno, cero, cero; cero, uno cero; cero, cero, uno. Es la forma más rápida de comprobar si he hecho bien la inversa de una función y la base para poder hacer también la inversa de una matriz por el método de Gauss. Pero, solamente lo utilizo para comprobarlo. De todas maneras lo grabaré en otro video y así aprovecho y explico, multiplicación de matrices. Buscadlo si queréis así: Multiplicación de matrices. ¿Vale? Como siempre chicos, practicad y practicad y practicad y aprobaréis. #nosvemosenclase Hasta luego ¡CIAO!

Definición

Si $\mathbf {A}$ es una matriz de n x m sobre los complejos: $A\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )$ de la forma:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz $\mathbf {A}$ , produce a la matriz traspuesta:

\mathbf {A} ^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}&{\bar {a}}_{31}&\cdots &{\bar {a}}_{n1}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}&{\bar {a}}_{32}&\cdots &{\bar {a}}_{n2}\\{\bar {a}}_{13}&{\bar {a}}_{23}&{\bar {a}}_{33}&\cdots &{\bar {a}}_{n3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\bar {a}}_{1m}&{\bar {a}}_{2m}&{\bar {a}}_{3m}&\cdots &{\bar {a}}_{nm}\\\end{pmatrix}}

Ejemplo

Una matriz $A={\begin{pmatrix}2i&6-i\\3+i&4\end{pmatrix}}$ tiene el traspuesto conjugado $A^{\dagger }={\begin{pmatrix}-2i&3-i\\6+i&4\end{pmatrix}}$

Propiedades

Una matriz cuadrada $\mathbf {A} ^{\dagger }$ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y $\mathbf {A} ^{\dagger }=\mathbf {A}$ . Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definición se tienen las siguientes propiedades:

$(A^{\dagger })^{\dagger }=A$ , involución.
$(A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }$ , adición de matrices.
$\forall r\in \mathbb {C} ,\quad (rA)^{\dagger }=r^{*}A^{\dagger }$ , producto por escalares.
$(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$ , inversión de la multiplicación
$(A^{-1})^{\dagger }=(A^{\dagger })^{-1}$ si la matriz es invertible.