Topología del orden (análisis funcional)

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional, la topología del orden de un espacio vectorial ordenado ${\displaystyle (X,\leq )}$ es la topología más fina en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo en ${\displaystyle X}$ para el que cada intervalo de orden está acotado, donde un intervalo de orden en ${\displaystyle X}$ es un conjunto de la forma ${\displaystyle [a,b]:=\left\{z\in X:a\leq z{\text{and }}z\leq b\right\}}$ en el que ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ pertenecen a ${\displaystyle X.}$^[1]​

La topología del orden es una topología importante que se usa con frecuencia en la teoría de espacios vectoriales topológicos ordenados porque la topología surge directamente de las propiedades algebraicas y teóricas del orden de ${\displaystyle (X,\leq ),}$ en lugar de alguna topología que ${\displaystyle X}$ comience a tener. Esto permite establecer conexiones íntimas entre esta topología y las propiedades algebraicas y teóricas del orden de ${\displaystyle (X,\leq ).}$ Para muchos espacios vectoriales topológicos ordenados que surgen en el análisis matemático, sus topologías son idénticas a la topología del orden.^[2]​

Definiciones

La familia de todas las topologías localmente convexas en ${\displaystyle X}$ para las que cada intervalo de orden está acotado no está vacía (ya que contiene la topología más gruesa posible en ${\displaystyle X}$) y la topología del orden es el límite superior de esta familia.^[1]​

Un subconjunto de ${\displaystyle X}$ es un entorno del origen en la topología del orden si y solo si es convexo y absorbe todos los intervalos del orden en ${\displaystyle X.}$^[1]​ Una vecindad del origen en la topología del orden es necesariamente un conjunto absorbente porque ${\displaystyle [x,x]:=\{x\}}$ para todos los ${\displaystyle x\in X.}$^[1]​

Para cada ${\displaystyle a\geq 0,}$, considérese que ${\displaystyle X_{a}=\bigcup _{n=1}^{\infty }n[-a,a]}$ y asignese a ${\displaystyle X_{a}}$ su topología del orden (lo que lo convierte en un espacio normal). El conjunto de todos los ${\displaystyle X_{a}}$ se dirige bajo inclusión y si ${\displaystyle X_{a}\subseteq X_{b}}$ entonces la inclusión natural de ${\displaystyle X_{a}}$ en ${\displaystyle X_{b}}$ es continua. Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial ordenado regularmente sobre los números reales y si ${\displaystyle H}$ es cualquier subconjunto del cono positivo ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle X}$ que es cofinal en ${\displaystyle C}$ (por ejemplo, ${\displaystyle H}$ podría ser ${\displaystyle C}$), entonces ${\displaystyle X}$ con su topología del orden es el límite inductivo de ${\displaystyle \left\{X_{a}:a\geq 0\right\}}$ (donde las aplicaciones de enlace son las inclusiones naturales).^[3]​

La estructura reticular puede compensar en parte cualquier falta de unidad de orden:

En particular, si ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un retículo de Fréchet ordenado sobre números reales, entonces ${\displaystyle \tau }$ es la topología ordenada en ${\displaystyle X}$ si y solo si el cono positivo de ${\displaystyle X}$ es un cono normal en ${\displaystyle (X,\tau ).}$^[3]​

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio de Riesz ordenado regularmente, entonces la topología ordenada es la topología del EVT localmente convexa más fina en ${\displaystyle X}$, lo que convierte a ${\displaystyle X}$ en un retículo vectorial localmente convexo. Si además ${\displaystyle X}$ tiene un orden completo, entonces ${\displaystyle X}$ con la topología del orden es un espacio barrilado y cada descomposición de banda de ${\displaystyle X}$ es una suma topológica directa para esta topología.^[3]​ En particular, si el orden de un retículo vectorial ${\displaystyle X}$ es regular, entonces la topología del orden la genera la familia de todas las seminormas reticulares en ${\displaystyle X.}$^[3]​.

Propiedades

En todo momento, ${\displaystyle (X,\leq )}$ será un espacio vectorial ordenado y ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ denota la topología del orden en ${\displaystyle X.}$

• El dual de ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ es el orden enlazado dual ${\displaystyle X_{b}}$ de ${\displaystyle X.}$^[3]​
• Si ${\displaystyle X_{b}}$ separa puntos en ${\displaystyle X}$ (por ejemplo, si ${\displaystyle (X,\leq )}$ es regular), entonces ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ es un EVT localmente convexo bornológico.^[3]​
• Cada operador lineal positivo entre dos espacios vectoriales ordenados es continuo para las topologías del orden respectivas.^[3]​
• Cada unidad de orden de un EVT ordenado está dentro del cono positivo de la topología del orden.^[3]​
• Si el orden de un espacio vectorial ordenado ${\displaystyle X}$ es un orden regular y si cada secuencia positiva de tipo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle \ell ^{1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ<!-- ℓ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle \ell ^{1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1156e1c2220628042b0fc51e0c73deb3b7c6d1" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:2.676ex;"/></span> en ${\displaystyle X}$ es de orden sumable, entonces ${\displaystyle X}$ dotado de su topología del orden es un espacio barrilado.^[3]​
• Si el orden de un espacio vectorial ordenado ${\displaystyle X}$ es un orden regular y si para todo ${\displaystyle x\geq 0}$ e ${\displaystyle y\geq 0}$ se cumple que ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$, entonces el cono positivo de ${\displaystyle X}$ es un cono normal en ${\displaystyle X}$ cuando ${\displaystyle X}$ está dotado de la topología del orden.^[3]​ En particular, el espacio dual continuo de ${\displaystyle X}$ con la topología del orden será el orden dual ${\displaystyle X}$⁺.
• Si ${\displaystyle (X,\leq )}$ es un espacio vectorial ordenado arquimedianamente sobre los números reales que tiene una unidad de orden, y haciendo que ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ denote la topología del orden en ${\displaystyle X.}$ Entonces, ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ es un espacio vectorial topológico ordenado que es normable, ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ es la topología del EVT localmente convexa más fina en ${\displaystyle X}$ tal que el cono positivo es normal , y las siguientes proposiciones son equivalentes:^[3]​

1. ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ está completo.
2. Cada secuencia positiva de tipo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle \ell ^{1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ<!-- ℓ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle \ell ^{1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1156e1c2220628042b0fc51e0c73deb3b7c6d1" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:2.676ex;"/></span> en ${\displaystyle X}$ es de orden sumable.

• En particular, si ${\displaystyle (X,\leq )}$ es un espacio vectorial ordenado arquimedianamente que tiene una unidad de orden, entonces el orden ${\displaystyle \,\leq \,}$ es un orden regular y ${\displaystyle X_{b}=X^{+}.}$^[3]​
• Si ${\displaystyle X}$ es un espacio de Banach y un espacio vectorial ordenado con una unidad de orden, entonces la topología de ${\displaystyle X}$ es idéntica a la topología del orden si y solo si el cono positivo de ${\displaystyle X}$ es un cono normal en ${\displaystyle X.}$^[3]​
• Un homomorfismo de un retículo vectorial ${\displaystyle X}$ sobre ${\displaystyle Y}$ es un homomorfismo topológico cuando a ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ se les dan sus respectivas topologías de orden.^[4]​

Relación con subespacios, cocientes y productos

Si ${\displaystyle M}$ es un subespacio vectorial sólido de un retículo vectorial ${\displaystyle X,}$, entonces la topología del orden de ${\displaystyle X/M}$ es el cociente de la topología del orden en ${\displaystyle X.}$^[4]​

Ejemplos

La topología del orden de un producto finito de espacios vectoriales ordenados (este producto tiene su orden canónico) es idéntica a la topología producto de los espacios vectoriales ordenados constituyentes (cuando a cada uno se le da su topología del orden).^[3]​

Véase también

• Métrica generalizada
• Topología del orden
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado
• Retículo vectorial

Referencias

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 

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