Teorema de Seifert-van Kampen

En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifert–van Kampen, a veces conocido simplemente como el teorema de van Kampen, expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico X respecto de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U y V que recubren X. Se puede emplear por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

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Transcription

Enunciado

Sea $X$ un espacio topológico, $X=U_{1}\cup U_{2}$ , con $U_{1},U_{2}$ subconjuntos abiertos y conexos por caminos, tales que $U_{1}\cap U_{2}\neq \varnothing$ también es conexo por caminos. Sea $x_{0}\in U_{1}\cap U_{2}$ .
Supongamos que conocemos los grupos fundamentales

$\pi _{1}(U_{1},x_{0})=\langle S_{1};R_{1}\rangle \,$ ,

$\pi _{1}(U_{2},x_{0})=\langle S_{2};R_{2}\rangle \,$ y

$\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})=\langle S;R\rangle$ .

Entonces, $\pi _{1}(X,x_{0})=\langle S_{1}\cup S_{2};R_{1}\cup R_{2}\cup \{(i_{1})_{*}(s)((i_{2})_{*}(s))^{-1}|s\in S\}\rangle$ , donde,
si $i_{1}:U_{1}\cap U_{2}\rightarrow U_{1}$ y $i_{2}:U_{1}\cap U_{2}\rightarrow U_{2}$ son las inclusiones naturales,
entonces $(i_{1})_{*}$ y $(i_{2})_{*}$ son las aplicaciones inducidas tales que

$(i_{1})_{*}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(U_{1},x_{0})$ que actúa $[\alpha ]\rightarrow (i_{1})_{*}([\alpha ]):=[i_{1}\circ \alpha ]$ ,

y análogamente

$(i_{2})_{*}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(U_{2},x_{0})$ que actúa $[\alpha ]\rightarrow (i_{2})_{*}([\alpha ]):=[i_{2}\circ \alpha ]$ .