Teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}$

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

Demostraciones

Demostración geométrica

1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.

El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.^[1]​

Ejemplo

Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,

${\displaystyle b^{2}=ab+a^{2}.\ }$

Dividiendo entre ${\displaystyle a^{2}}$ se tiene

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=1+{\frac {b}{a}}.\ }$

Denotando con ${\displaystyle \varphi }$ la razón b/a se obtiene ${\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$, ecuación que coinicide con la definición del número áureo.

${\displaystyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$.

Referencias

Enlaces externos

• Teorema de Ptolomeo en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. «Desigualdad de Ptolomeo». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Esta página se editó por última vez el 12 nov 2023 a las 10:13.