Teorema de Pohlke

El teorema de Pohlke constituye el principio fundamental de la perspectiva axonométrica. Fue establecido en 1853 por el pintor y maestro de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876). La primera prueba del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz, quien fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, el teorema a veces se denomina también teorema de Pohlke y Schwarz.

Teorema

• Tres segmentos de recta arbitrarios ${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$ en un plano con origen común en el punto ${\displaystyle {\overline {O}}}$, que no estén contenidos en la misma recta, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas ${\displaystyle OU,OV,OW}$ de un cubo.

Para establecer la correspondencia con un cubo de arista unidad, se tiene que aplicar una escala adicional, ya sea en el espacio o en el plano. Debido a que una proyección paralela y una escala preservan las proporciones, se puede asignar un punto arbitrario ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ mediante el procedimiento axonométrico descrito más adelante.

El teorema de Pohlke se puede expresar en términos de álgebra lineal como:

• Cualquier transformación afín del espacio tridimensional en un plano puede considerarse como la composición de un semejanza y una proyección paralela.^[1]​

Aplicación a la axonometría

El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente simple procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional, utilizando sus coordenadas:^[2]​^[3]​

1. Elijánse las proyecciones de los ejes de coordenadas, no contenidas en una misma recta.
2. Elegir para los ejes de coordenadas los acortamientos que se quiera ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0}$
3. La imagen ${\displaystyle {\overline {P}}}$ de un punto ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ está determinada por los tres pasos siguientes, comenzando en el punto ${\displaystyle {\overline {O}}}$:

• Avanzar ${\displaystyle (v_{x}\cdot x)}$ en dirección ${\displaystyle {\overline {x}}}$
• Avanzar ${\displaystyle (v_{y}\cdot y)}$ en dirección ${\displaystyle {\overline {y}}}$
• Avanzar ${\displaystyle (v_{z}\cdot z)}$ en dirección ${\displaystyle {\overline {z}}}$

4. Marcar el punto como ${\displaystyle {\overline {P}}}$.

Para obtener imágenes sin distorsión, se tienen que elegir coordinadamente los ángulos entre las proyecciones de los tres ejes y los respectivos acortamientos (véase perspectiva axonométrica). Para obtener una proyección ortogonal, solo las imágenes de los ejes son libres y se determinan los acortamientos (véase axonometría ortogonal).

Observaciones sobre la demostración de Schwarz

Schwarz formuló y demostró la afirmación más general siguiente:

• Los vértices de cualquier cuadrilátero se pueden considerar como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro que es semejante a un tetraedro dado,^[4]​ para lo que utilizó un teorema de L’Huilier:
• Cada triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de otro triángulo de una forma dada.

Referencias

Bibliografía

• K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Google Books.)
• Schwarz, H. A.: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. Reine Angew. Mates. 63, 309–314, 1864.
• Arnold Emch: "Prueba del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por afinidad", American Journal of Mathematics, vol. 40, No. 4 (octubre de 1918), pp. 366–374

Enlaces externos

• F. Klein: The fundamental Theorem of Pohlke, in Elementary Mathematics from a Higher Standpoint: Volume II: Geometry, p. 97,
• Christoph J. Scriba,Peter Schreiber: 5000 Years of Geometry: Mathematics in History and Culture, p. 398.
• Pohlke–Schwarz theorem, Encyclopedia of Mathematics.

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