Teorema de Bertrand

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En 2008 Álex de la Iglesia rodó la película Los crímenes de Oxford, basada en una novela del matemático Guillermo Martínez Comienza con la lección magistral del profesor Arthur Seldom. En ella Seldom expone la imposibilidad de conocer la verdad, resultado obtenido del trabajo de Ludwig Wittgenstein. Según Seldom, Wittgenstein intentaba dar una estructura lógica que llevase a la "Verdad". En su libro, Tractatus, Wittgenstein afirma la expresión con la que se concluye la disertación del profesor: "De lo que no se puede hablar, hay que callar". Esto lleva al profesor a desdeñar la posibilidad de encontrar la verdad fuera de las matemáticas. En el Tractatus, Wittgenstein, intenta explicar el funcionamiento de la lógica, que ya había sido explicado por diferentes filósofos y matemáticos como Fiedrich Frege y Bertrand Russell. De hecho Wittgenstein fue alumno de Russell. Frege y Russell se empeñaron en buscar un conjunto de verdades, que en matemáticas llamamos axiomas, de las que se pudiese cimentar cualquier otra verdad. Esa "Verdad", que Seldom le explicaba a sus alumnos, solo presente dentro de las matemáticas. Cuando Frege creyó haberlo conseguido, Russell le envió una carta que derrumbó el edificio lógico de todo su trabajo. En 1902, tras el primer volumen de su Leyes básicas de la Aritmética, escrito en 1893, donde había trabajado con las nuevas ideas de Cantor sobre conjuntos, creía establecidos los fundamentos correctos de la teoría de conjuntos. Donde la misma definición de conjunto era consistente. Sin embargo, Russell le planteo un problema: Llamemos M al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros"; es decir "Cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo". Ahora nos preguntamos: ¿es M un elemento de M? Atendiendo a lo expuesto M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es un absurdo Russell acababa de lapidar la concepción de conjunto que se tenía a comienzos del siglo XX Este resultado se conoce como La paradoja de Bertrand Russell, y echa por tierra la facilidad con la creemos poder decir qué es un conjunto. Así que cuando os preguntéis: ¿Qué es un conjunto? Pensad que es una pregunta difícil de contestar, es más fácil definir los conjuntos con lo que trabajaremos. De este modo no os quedaréis desolados como Fiedrich Frege, a quien le tiraron por la borda sus 20 años de investigación. Pero eso, es otra historia.