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# Distribución t de Student

## De Wikipedia, la enciclopedia libre

Distribución t de student

Parámetros ${\displaystyle \nu >0\!}$ grados de libertad (real)
Dominio ${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Función de densidad (pdf) ${\displaystyle {\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\!}$
Función de distribución (cdf) ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ donde ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$ es la función hipergeométrica
Media ${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle \nu >1}$, indefinida para otros valores
Mediana ${\displaystyle 0}$
Moda ${\displaystyle 0}$
Varianza ${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}\!}$ para ${\displaystyle \nu >2}$, indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría ${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle \nu >3}$
Curtosis ${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}\!}$ para ${\displaystyle \nu >4}$
Entropía

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$

• ${\displaystyle \psi }$: función digamma,
• ${\displaystyle B}$: función beta
Función generadora de momentos (mgf) (No definida)

En probabilidad y estadística, la distribución ${\displaystyle t}$ (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.

Fue desarrollada por William Sealy Gosset bajo el pseudónimo “Student”.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

## Historia

La distribución de Student fue descrita en el año 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el pseudónimo de “Student”.[1]

## Distribución ${\displaystyle t}$ de Student a partir de una muestra aleatoria

Sea ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ variables aleatorias independientes distribuidas ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$, esto es, ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ es una muestra aleatoria de tamaño ${\displaystyle n}$ proveniente de una población con distribución normal con media ${\displaystyle \mu }$ y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Sean

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

la media muestral y

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}$

la varianza muestral entonces la variable aleatoria

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

sigue una distribución normal estándar (es decir, una distribución normal con media 0 y varianza 1) y la variable aleatoria

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$

donde ${\displaystyle S}$ ha sido sustituido por ${\displaystyle \sigma }$, tiene una distribución ${\displaystyle t}$ de student con ${\displaystyle n-1}$ grados de libertad.

## Definición

### Notación

Sean ${\displaystyle X}$ una variable aleatoria continua y ${\displaystyle v>0}$, si ${\displaystyle X}$ tiene una distribución ${\displaystyle t}$ con ${\displaystyle v}$ grados de libertad entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim t_{v}}$ o ${\displaystyle X\sim t(v)}$.

La distribución ${\displaystyle t}$-student tiene como función de densidad

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}}$

para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, donde ${\displaystyle v}$ denota los grados de libertad y ${\displaystyle \Gamma }$ es la función gamma.

La expresión anterior también suele escribirse como

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{{\sqrt {v}}\;\operatorname {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}}$

donde ${\displaystyle \operatorname {B} }$ es la función beta.

En particular, para valores enteros de ${\displaystyle v}$ se tiene que

para ${\displaystyle v>1}$ par

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}={\frac {(v-1)(v-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {v}}(v-2)(v-4)\cdots 4\cdot 2}}}$

para ${\displaystyle v>1}$ impar

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}={\frac {(v-1)(v-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {v}}(v-2)(v-4)\cdots 5\cdot 3}}}$

### Función de distribución

La función de distribución puede ser escrita en términos de ${\displaystyle I}$, la función beta incompleta.

Para ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\frac {v}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$

donde

${\displaystyle x(t)={\frac {v}{t^{2}+v}}}$

Una fórmula alternativa, válida para ${\displaystyle x^{2} es

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(u)du={\frac {1}{2}}+x{\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi v}}\;\Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {v+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{v}}\right)}$

donde ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ es un caso particular de la función hipergeométrica.

### Casos particulares

Ciertos valores de ${\displaystyle v}$ dan una forma especial a la función de densidad y de distribución.

• ${\displaystyle v=1}$
${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}$
Función de distribución:
${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(x)}$
Véase Distribución de Cauchy.
• ${\displaystyle v=2}$
${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {x^{2}}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$
Función de distribución:
${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{2}}}}}}}$
• ${\displaystyle v=3}$
${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {x^{2}}{3}}\right)^{2}}}}$
Función de distribución:
${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {x}{{\sqrt {3}}\left(1+{\frac {x^{2}}{3}}\right)}}+\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {3}}}\right)\right]}$
• ${\displaystyle v=\infty }$
${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$
Véase Distribución normal.
Función de distribución:
${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$
Véase Función error.

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim t_{v}}$ entonces ${\displaystyle X}$ satisface algunas propiedades.

### Media

La media de ${\displaystyle X}$ para valores ${\displaystyle v>1}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=0}$

### Varianza

La varianza de ${\displaystyle X}$ para valores ${\displaystyle v>2}$ es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {v}{v-2}}}$

### Curtosis

La curtosis de ${\displaystyle X}$ para valores ${\displaystyle v>4}$ es

${\displaystyle {\frac {6}{v-4}}}$

## Caracterización

La distribución ${\displaystyle t}$ de Student con ${\displaystyle v}$ grados de libertad puede definirse como la distribución de la variable aleatoria ${\displaystyle T}$ definida por:

${\displaystyle T:={\frac {Z}{\sqrt {\frac {X}{v}}}}\sim t_{v}}$

donde

• ${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$, es decir, ${\displaystyle Z}$ es una variable aleatoria con distribución normal estándar (distribución normal con media 0 y varianza 1).
• ${\displaystyle X\sim \chi _{v}^{2}}$, es decir ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria que sigue una distribución chi-cuadrada con ${\displaystyle v}$ grados de libertad.
• ${\displaystyle Z}$ y ${\displaystyle X}$ son variables aleatorias independientes.

Para una constante ${\displaystyle \mu }$ no nula, el cociente

${\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {v}{X}}}}$

es una variable aleatoria que sigue la distribución no central ${\displaystyle t}$ de Student con parámetro de no-centralidad ${\displaystyle \mu }$.

## Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

### Intervalo para la media cuando ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ es desconocida

Sean ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ donde ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$ son desconocidos.

Se tiene que

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)}$

y

${\displaystyle {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

son independientes entonces el cociente

${\displaystyle {\frac {\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {\mu }}}}{\sqrt {\frac {\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}{n-1}}}}\sim t_{n-1}}$

esto es

${\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}}$

Sea ${\displaystyle t_{n-1,1-\alpha /2}\in \mathbb {R} }$ tal que

${\displaystyle \operatorname {P} [Y\leq t_{n-1,1-\alpha /2}]=1-{\frac {\alpha }{2}}}$

siendo ${\displaystyle Y\sim t_{n-1}}$ entonces

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {P} \left[-t_{n-1,1-\alpha /2}\leq {\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\leq t_{n-1,1-\alpha /2}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}-\mu \leq t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[-{\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq -\mu \leq -{\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\&\operatorname {P} \left[{\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]=1-\alpha \\\end{aligned}}}

por lo tanto un intervalo de ${\displaystyle (1-\alpha )100\%}$ de confianza para ${\displaystyle \mu }$ cuando ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ es desconocida es

${\displaystyle \left({\overline {X}}-t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+t_{n-1,1-\alpha /2}\;{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)}$

## Distribución ${\displaystyle t}$ de Student generalizada

### En términos del parámetro de escala ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$

La distribución ${\displaystyle t}$ de Student puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ y un parámetro de escala ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$ mediante la relación

${\displaystyle X={\widehat {\mu }}+{\widehat {\sigma }}\;T}$

o

${\displaystyle T={\frac {X-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}}$

esto significa que ${\textstyle {\frac {x-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}}$ tiene la distribución clásica ${\displaystyle t}$ de Student con ${\displaystyle v}$ grados de libertad.

La resultante distribución ${\displaystyle t}$ de Student no estandarizada tiene por función de densidad:[2]

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\widehat {\sigma }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-{\widehat {\mu }}}{\widehat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

donde ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$ no corresponde a la desviación estándar, esto es, no es la desviación estándar de la distribución escalada ${\displaystyle t}$, simplemente es parámetro de escala de la distribución.

La distribución puede ser escrita en términos de ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$, el cuadrado del parámetro de escala:

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu {\widehat {\sigma }}^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-{\widehat {\mu }})^{2}}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]={\widehat {\mu }}\quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\&\operatorname {Var} (X)={\widehat {\sigma }}^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\&\operatorname {Moda} (X)={\widehat {\mu }}.\end{aligned}}}

### En términos del parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda }$

Una parametrización alterna está en términos del parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda }$ definido mediante la relación ${\textstyle \lambda ={\frac {1}{{\widehat {\sigma }}^{2}}}}$. La función de densidad está dada por:[2]

${\displaystyle p(x|\nu ,{\widehat {\mu }},\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {\lambda }{\pi v}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-{\widehat {\mu }})^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]={\widehat {\mu }}\quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\&\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\&\operatorname {Moda} (X)={\widehat {\mu }}.\end{aligned}}}

• Si ${\displaystyle X\sim t_{v}}$ entonces ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} _{1,v}}$ donde ${\displaystyle \operatorname {F} _{1,v}}$ denota la distribución F con ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle v}$ grados de libertad.

## Referencias

1. Walpole, Roland; Myers, Raymond y Ye, Keying (2002). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education.
2. a b c d Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507.

## Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 10 abr 2021 a las 17:35.
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