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Distribución t de Student

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Distribución t de student
Student densite best.JPG

Función de densidad de probabilidad
T distributionCDF.png

Función de distribución de probabilidad
Parámetros grados de libertad (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf) donde es la función hipergeométrica
Media para , indefinida para otros valores
Mediana
Moda
Varianza para , indefinida para otros valores
Coeficiente de simetría para
Curtosis para
Entropía

  • : función digamma,
  • : función beta
Función generadora de momentos (mgf) (No definida)

En probabilidad y estadística, la distribución (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.

Fue desarrollada por William Sealy Gosset bajo el pseudónimo “Student”.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Historia

La distribución de Student fue descrita en el año 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el pseudónimo de “Student”.[1]

Distribución de Student a partir de una muestra aleatoria

Sea variables aleatorias independientes distribuidas , esto es, es una muestra aleatoria de tamaño proveniente de una población con distribución normal con media y varianza .

Sean

la media muestral y

la varianza muestral entonces la variable aleatoria

sigue una distribución normal estándar (es decir, una distribución normal con media 0 y varianza 1) y la variable aleatoria

donde ha sido sustituido por , tiene una distribución de student con grados de libertad.

Definición

Notación

Sean una variable aleatoria continua y , si tiene una distribución con grados de libertad entonces escribiremos o .

Función de densidad

La distribución -student tiene como función de densidad

para , donde denota los grados de libertad y es la función gamma.

La expresión anterior también suele escribirse como

donde es la función beta.

En particular, para valores enteros de se tiene que

para par

para impar

Función de distribución

La función de distribución puede ser escrita en términos de , la función beta incompleta.

Para

donde

Una fórmula alternativa, válida para es

donde es un caso particular de la función hipergeométrica.

Casos particulares

Ciertos valores de dan una forma especial a la función de densidad y de distribución.

Función de densidad:
Función de distribución:
Véase Distribución de Cauchy.
Función de densidad:
Función de distribución:
Función de densidad:
Función de distribución:
Función de densidad:
Véase Distribución normal.
Función de distribución:
Véase Función error.

Propiedades

Si es una variable aleatoria tal que entonces satisface algunas propiedades.

Media

La media de para valores es

Varianza

La varianza de para valores es

Curtosis

La curtosis de para valores es

Caracterización

La distribución de Student con grados de libertad puede definirse como la distribución de la variable aleatoria definida por:

donde

Para una constante no nula, el cociente

es una variable aleatoria que sigue la distribución no central de Student con parámetro de no-centralidad .

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

Intervalo para la media cuando es desconocida

Sean una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución donde y son desconocidos.

Se tiene que

y

son independientes entonces el cociente

esto es

Sea tal que

siendo entonces

por lo tanto un intervalo de de confianza para cuando es desconocida es

Distribución de Student generalizada

En términos del parámetro de escala

La distribución de Student puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional y un parámetro de escala mediante la relación

o

esto significa que tiene la distribución clásica de Student con grados de libertad.

La resultante distribución de Student no estandarizada tiene por función de densidad:[2]

donde no corresponde a la desviación estándar, esto es, no es la desviación estándar de la distribución escalada , simplemente es parámetro de escala de la distribución.

La distribución puede ser escrita en términos de , el cuadrado del parámetro de escala:

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

En términos del parámetro inverso de escala

Una parametrización alterna está en términos del parámetro inverso de escala definido mediante la relación . La función de densidad está dada por:[2]

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:[2]

Distribuciones relacionadas

  • Si entonces donde denota la distribución F con y grados de libertad.

Véase también

Referencias

  1. Walpole, Roland; Myers, Raymond y Ye, Keying (2002). Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education. 
  2. a b c d Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507. 

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 10 abr 2021 a las 17:35.
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