To install click the Add extension button. That's it.

The source code for the WIKI 2 extension is being checked by specialists of the Mozilla Foundation, Google, and Apple. You could also do it yourself at any point in time.

4,5
Kelly Slayton
Congratulations on this excellent venture… what a great idea!
Alexander Grigorievskiy
I use WIKI 2 every day and almost forgot how the original Wikipedia looks like.
What we do. Every page goes through several hundred of perfecting techniques; in live mode. Quite the same Wikipedia. Just better.
.
Leo
Newton
Brights
Milds

Subespacio vectorial

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Definición de subespacio vectorial

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Consecuencias

  • Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.

Luego para el elemento neutro de la suma este se puede obtener como , que y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como , ya que

Notaciones

Dado un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.

Demostración
Se quiere ver que :

Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.

Demostración

Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector es también un elemento de U.

Ejemplos

Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .

El subconjunto

.

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma .




como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de .

El subconjunto

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

  • Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3².
  • El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Operaciones con subespacios

Sea un espacio vectorial; y subespacios vectoriales de , se definen las siguientes operaciones:

Unión


En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección


La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma


La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".[1]
Es decir que si
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios y son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial :

Dimensiones de subespacios

La  fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios y será igual a la dimensión del subespacio más la dimensión del subespacio menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:



Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, .

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como .
La fórmula de Grassmann resulta:



Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .

Véase también

Referencias

  1. "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.
Esta página se editó por última vez el 23 nov 2020 a las 03:15.
Basis of this page is in Wikipedia. Text is available under the CC BY-SA 3.0 Unported License. Non-text media are available under their specified licenses. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 is an independent company and has no affiliation with Wikimedia Foundation.