Subdivisión (grafos)

Subdivisión

subdivisión de la arista uv en las aristas uw y wv

En el campo matemático de la teoría de grafos, una subdivisión de aristas también llamada subdivisión elemental, subdivisión de grafos^[1] o simplemente subdivisión es una operación que agrega un vértice a una arista, dividiendo la arista en dos (•——• por •—•—•). La contracción es una operación fundamental en la teoría de grafos.

La operación de subdivisión de aristas toma una arista e = uv, luego un vértice w es agregado a la arista, dividiéndola en dos, de esta forma la arista original es reemplazada por e₁ = uw y e₂ = wv, de modo que se añade al grafo un vértice y una arista.

Más generalmente, la operación de subdivisión puede añadir un conjunto de vértices a una arista, dividiendo la arista y añadiendo un grafo camino P_n al grafo. La subdivisión se puede realizar en más de una arista a la vez.

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Definición formal

Sea $G(V,A)\,$ un grafo simple conexo, la subdivisión de la arista $\{u,v\}\in A\,$ da como resultado el grafo $G_{w}(V',A')\,$ , donde $V'=V\cup \{w\}\,$ y $A'=(A-\{u,v\})\cup \{\{u,w\},\{v,w\}\}\,$ ^[2]

donde w sería el vértice que se inserta en la arista.

Operación inversa

La operación inversa, suavizado o alisado de un grafo, un vértice w es eliminado de un par de aristas (e,f) que son incidentes a w, se elimina las aristas incidentes a w y se reemplaza por una nueva arista con los vértices extremos de e y f que no son w. Esta operación se puede hacer únicamente con vértices de grado 2.

Por ejemplo, el grafo G simple conexo con dos aristas e₁ = uw y e₂ = wv: