Signo de una permutación

Definición

Para cada permutación ${\displaystyle \sigma }$ dentro del grupo de permutaciones ${\displaystyle S_{n}}$, el signo de ${\displaystyle \sigma }$, notado usualmente como ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )}$, se define por:

${\displaystyle \varepsilon (\sigma )=(-1)^{\nu (\sigma )}=\det \varphi (\sigma ),\quad \forall \sigma \in S_{n},}$

siendo ${\displaystyle \nu (\sigma )}$ el número de trasposiciones de una descomposición cualquiera de ${\displaystyle \sigma }$ en producto de trasposiciones, es decir, la paridad de ${\displaystyle \sigma }$. De otro lado, ${\displaystyle \varphi :S_{n}\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ es la aplicación que a cada permutación asocia la matriz ${\displaystyle \sigma (Id)}$ que se obtiene permutando las filas de la matriz identidad según indica ${\displaystyle \sigma }$.

Nota

• La aplicación ${\displaystyle \varepsilon :S_{n}\rightarrow \{-1,1\}}$ es un homomorfismo de grupos entre ${\displaystyle (S_{n},*){\textrm {~y~}}(\{-1,1\},\cdot )}$, siendo ${\displaystyle *}$ la operación de composición usual y ${\displaystyle \cdot }$ el producto convencional.

Véase también

► Paridad de una permutación (criterio equivalente)

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