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Seno (trigonometría)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, el seno es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también funciones circulares,[1]​ es una función real cuyo dominio es y su codominio el intervalo cerrado [-1;1]:

se denota para todo . Su nombre se abrevia sen o sin.[2][3][4]

Etimología

El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá-jya,[5]​ siendo ardhá: «mitad, medio», y jya: «cuerda»). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir «bahía», «cavidad» o «seno»).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía, seno’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».[6]

Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

Definición

El seno de α es la razón  a c = B C A B {\displaystyle {\tfrac {a}{c}}={\tfrac {BC}{AB}}}
El seno de α es la razón

En trigonometría, el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo

Si pertenece a la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia de radio uno con se tiene:

Ya que .

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos agudos (no obtusos) y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector mediante su descomposición en los vectores ortogonales y .

Relaciones trigonométricas

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

El seno es una función impar, es decir:

El seno es una función periódica de periodo ,

Por inducción ya que aplicando un número par de veces se llega a todos los valores de k.

En función del coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

Como , despejando sen α se obtiene:

En función de la tangente

Como , despejando y reemplazando se obtiene:

En función de la cotangente

Sabiendo que , y que , entonces:

En función de la secante

Como , despejando y reemplazando se obtiene:

En función de la cosecante

El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

[7]

Seno de la suma de dos ángulos

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Seno del ángulo doble

Como:

Bastará con el cambio

Seno del ángulo mitad

Usando las fórmulas:
y

resulta:

Representación de  y = 1 − cos ⁡ ( 2 x ) 2 . {\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1-\cos(2x)}{2}}}.}
Representación de

y aislando :

El cambio corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

donde .

Suma de senos como producto

Usando seno de la suma de dos ángulos y con el cambio se tine:

Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.

Producto de senos como suma

Usando las ecuaciones de coseno de la suma de dos ángulos y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de coseno del ángulo doble resulta la segunda ecuación.

Potencias de senos

Análisis matemático

Definición

La función seno puede definirse mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es e .

Derivada

  • Observación: .

Como serie de Taylor

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

Propiedades

  • Es una función continua en todo su dominio de definición.
  • Es una función trascendente pues no se puede expresar mediante una función algebraica, sea entera, racional o irracional.
  • El seno es una función analítica, esto es, que tiene derivada continua de cualquier orden.
  • Tiene una infinidad contable de ceros, donde corta al eje X.
  • Tiene una infinidad contable de valor máximo = 1; igual cantidad contable de valor mínimo = -1.
  • Tienen infinidad contable de puntos de inflexión.
  • Su gráfica es cóncava hacia abajo en [2k; 2(k+1)π]
  • Su gráfica es cóncava hacia arriba en [2(k+1)π; 2(k+2)π] [8]

Análisis complejo

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

Dada la fórmula de Euler:

donde es la base del logaritmo natural, e es la unidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a se tiene también que:

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

[9]

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.

En programación

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.

La mayoría de los modelos de calculadoras están configurados y aceptan el valor de un angulo cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes.

Ejemplos:

Seno de 45 grados = 0,7071
Seno de 45 radianes = 0,8509.

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:

Rad = Deg * π/180
Deg = Rad * 180/π.

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: y 90º:

en caso del modo de radianes activo.
en caso del modo de grados sexagesimales activo.

Representación gráfica

Función Trigonométrica R100.svg

Véase también

Referencias

  1. A. I. Markushévich: Curvas maravillosas/ Números complejos y representaciones conformee/ Funciones maravillosas Editorial Mir, Moscú, 1988, pp 99-100
  2. Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias. ISBN 84-239-7921-0. «Sen->Abreviatura de seno. Seno->...Abreviado sen. Sin->()Elemento compositivo que significa "con","a la vez".» 
  3. A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas. AKAL. ISBN 84-7339-706-1. «Sen->Abreviación de seno. Seno->...Representado por Sen.» 
  4. Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO. ISBN 84-494-0696-X. «Seno-> ... sen â ...» 
  5. En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como yivá, que no significa «cuerda» sino «ser vivo».
  6. Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York. 
  7. I. Bronshtein & K. Semendiaev: Manual de matemáticas, Editorial Mir, Moscú/ 1973, pág. 210
  8. Bronshtein. Op. ci pág, pág. 275
  9. A. Markushevich: Teoría de las funciones analíticas' tomo I editorial Mir Moscú (1970)

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 1 may 2021 a las 10:09.
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