To install click the Add extension button. That's it.

The source code for the WIKI 2 extension is being checked by specialists of the Mozilla Foundation, Google, and Apple. You could also do it yourself at any point in time.

4,5
Kelly Slayton
Congratulations on this excellent venture… what a great idea!
Alexander Grigorievskiy
I use WIKI 2 every day and almost forgot how the original Wikipedia looks like.
Live Statistics
Spanish Articles
Improved in 24 Hours
Added in 24 Hours
Languages
Recent
Show all languages
What we do. Every page goes through several hundred of perfecting techniques; in live mode. Quite the same Wikipedia. Just better.
.
Leo
Newton
Brights
Milds

Relación de orden

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una relación de orden o más conocida como "Orden en R" es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que ayuda a la creación del orden del mismo.

Definición

Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en , entonces se dice que es una relación de orden[1]

  1. Reflexiva: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .
  2. Antisimétrica: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
  3. Transitiva: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

Una relación de orden sobre un conjunto puede denotarse con el par ordenado .

Relación de orden amplio

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.[2]​ La inclusión no es una relación de orden total.

Relación de orden total

Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,

.

  • Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: entonces (porque por definición, )
    • Antisimétrico: si y entonces
    • Transitivo: si y entonces
    • Orden total, pues

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.[3]

Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues
5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.[4]

Relación de orden parcial

Sea un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de se relacionan entre sí, es decir,

tal que .

  • Ejemplo. Sea el conjunto y el conjunto potencia de , definido por:

Entonces es parcialmente ordenado, pues sean

pero

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

Una relación de orden parcial sobre un conjunto se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, tales que , existe otro tal que .

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si , entonces tenemos que satisface que:
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier existen los enteros y , tal que .[5]

Véase también

Esquema de temas relacionados

Teoría del orden
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Relación bien fundada

Referencias

  1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
  2. Rojas: Álgebra I
  3. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
  4. Rojas, Op. cit
  5. Esta propiedad permite definir la función máximo entero

Bibliografía

  • Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 
  • Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 
  • Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 
  • Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1. 
Esta página se editó por última vez el 28 sep 2021 a las 16:20.
Basis of this page is in Wikipedia. Text is available under the CC BY-SA 3.0 Unported License. Non-text media are available under their specified licenses. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 is an independent company and has no affiliation with Wikimedia Foundation.