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Regla de la cadena

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para obtener la derivada de funciones compuestas, esto es, si y son funciones diferenciables entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición en términos de la derivada de y y el producto de funciones como

Alternativamente, si (equivalente a para toda ) entonces se puede escribir la fórmula de la regla de la cadena en la notación de Lagrange como

La regla de la cadena también puede ser escrita en la notación de Leibniz de la siguiente manera. Si una variable depende de una variable y a su vez esta depende de (esto es y son variables dependientes) entonces también depende de , en tal caso, la regla de la cadena enuncia que

y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada

Las versiones de la regla de la cadena en la notación de Lagrange y de Leibniz son equivalentes en el sentido que si y (esto es ) entonces

y

Enunciado

La forma más simple de la regla de la cadena es para funciones de una variable. Enuncia que si es una función que es diferenciable en un punto (es decir, la derivada existe) y si es una función diferenciable en entonces la función compuesta es diferenciable en y su derivada es

y en ocasiones es abreviada como

Si y entonces esta forma abreviada escrita en la notación de Leibniz es

y para denotar los puntos donde la derivada es evaluada

Dadas funciones y la función compuesta , si cada función es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz)

Derivadas de orden superior

La fórmula de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Suponga que y entonces

Demostración

Primera demostración

Una demostración consiste utilizando la definición de la derivada:

Supongamos que no es igual para todo cerca de entonces la expresión anterior es igual al producto de dos factores:

Si se mueve cerca de , entonces puede ocurrir que independientemente de lo cerca que se esté de , siempre hay un valor más cercano tal que . Por ejemplo, esto ocurre para cerca del punto (y ). Cuando esto ocurre, la expresión de arriba no está definida porque implica una división por cero. Para sortear este inconveniente, se introduce la función como sigue:

Se mostrará que el cociente incremental para siempre es igual a:

Como quiera que no es igual a lo cual es claro porque los factores de se cancelan. Cuando es igual a , entonces el cociente incremental para es cero porque es igual a y el producto de arriba es cero porque es igual a por cero, por lo que el producto de arriba siempre es igual al cociente incremental y para demostrar que la derivada de en existe y determinar su valor, sólo necesitamos demostrar que el límite cuando tiende a del producto de arriba existe y determinar su valor.

Para hacer esto, hay que recordar que el límite de un producto existe, si existe el límite de sus factores existe, cuando esto ocurre, el límite del producto de esos factores será igual al producto de los límites de los factores. Los factores en este caso son y . El último es el cociente incremental para en , y como es diferenciable en como se supuso, su límite cuando tiende a existe y es igual a .

Para , nótese que está definida donde lo esté . Más aún, es diferenciable en por hipótesis, así que es continua en , por la propia definición de la derivada. La función es continua en porque es diferenciable en por lo que es continua en . Así que el límite cuando tiende a existe y es igual a , o sea .

Esto muestra que los límites de ambos factores existen y son iguales a y respectivamente. Por lo tanto, la derivada de en existe y es igual a .[1]

Ejemplos

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Regla del cociente

La regla de la cadena puede ser utilizada para para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto, para esto, escriba la función como el producto , utilizando primero la regla del producto:

Para calcular la derivada de , note que es la función compuesta de con la función recíproco , la derivada de esta función es , aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como

que es la fórmula de la regla del cociente.

Derivada de funciones inversas

Suponga que tiene función inversa, llámese , por lo que . Existe una fórmula para la derivada de en términos de la derivada de , para esto, note que y satisfacen la ecuación

y como las funciones y son iguales entonces sus derivadas también son iguales. La derivada de es la constante y la derivada de está dada por la regla de la cadena, por lo que

Para expresar como una función de una variable independiente , reemplazamos por y resolvemos para

Por ejemplo, considere la función , esta tiene función inversa , como entonces por la fórmula anterior

Ejemplo algebraico

Sean

y deseamos calcular .

Por un lado tenemos:

y

como

entonces

Otra opción es definiendo la función:

entonces

que es el mismo f o g .

Véase también

Referencias

  1. «Chain Rule for Derivative — The Theory». Math Vault (en inglés estadounidense). 5 de junio de 2016. Consultado el 16 de septiembre de 2020. 

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 11 jun 2021 a las 01:20.
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