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Producto (teoría de categorías)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros. Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.

Definición

Sea una categoría, y objetos de . Un objeto es el producto de y , denotado si y solo si satisface la siguiente propiedad universal

Existe morfismos , llamadas proyecciones canónicas o proyecciones tal que para cualquier otro objeto y un par de morfismos existe un único morfismo tal que el siguiente diagrama conmuta:

El único morfismo recibe el nombre de morfismo producto de y y se denota por .

Se acaba de definir el producto binario. En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto . Entonces obtenemos la definición de un producto.

Un objeto es el producto de una familia de objetos si y solo si existen morfismos , tal que para cualquier otro objeto y una familia de morfismos indizados por existe un único morfismo tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier

El producto se denota como ; si , entonces se denota como y el morfismo producto como .

De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario:

  • La existencia de se garantizada por la operación .
  • La conmutatividad de los respectivos diagramas está garantizada por la igualdad .
  • La Unicidad de es garantizada por la igualdad .[1]

También el producto puede ser obtenido a partir del límite. Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos. Si consideramos nuestro diagrama como un funtor, entonces es un funtor desde considerada como una categoría discreta. Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono límite para este funtor.

Ejemplos

En la categoría Set (la categoría de conjuntos) el producto para la categoría es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos Xi el producto es definido como

con las proyecciones

Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones : la flecha universal f se define como

  • En la categoría de grupos el producto categórico está dado por el producto cartesiano con la multiplicación definida componente a componente.
  • Un conjunto parcialmente ordenado puede ser considerado como una categoría, usando la relación de orden como los morfismos. En este caso los productos y coproductos son los ínfimos y supremos del conjunto respectivamente

Discusión

El producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como and , no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.

Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana

Supongamos que es una categoría cartesiana y denota el objeto final de la categoría . Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.

Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal

Distributividad

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×ZX×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:

La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×ZX×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo

Véase también

Referencias

  1. Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. p. 304. 

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 29 oct 2020 a las 19:38.
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