Politopo compuesto

Un politopo compuesto es una figura que está formada por varios politopos que comparten un centro común. En dos dimensiones se denominan compuestos poligonales, y en tres dimensiones se denominan compuestos poliédricos o también poliedros compuestos.

Los vértices exteriores de un compuesto pueden ser conectados entre sí para formar un politopo convexo, denominado envolvente convexa. El compuesto es a su vez un facetado de la envolvente convexa.

Otro politopo convexo está formado por el espacio central común a todos los miembros del compuesto. Este politopo puede ser considerado como el núcleo de un conjunto de estelaciones.

Compuestos poliédricos regulares

Un compuesto de poliedros regulares puede ser definido como aquel que, como un poliedro regular, posee la propiedad transitiva respecto a vértices, aristas, y caras. Existen cinco compuestos regulares de poliedros.

Componentes Símbolos de Coxeter	Imagen	Diagrama Esférico	Envolvente convexa (Núcleo)	Simetría	Estricción del subgrupo de un componente	Dual
Dos tetraedros {4,3}[2{3,3}]{3,4}			Cubo (Octaedro)	Oh	Td	Auto-dual
Cinco tetraedros {5,3}[5{3,3}]{3,5}			Dodecaedro (Icosaedro)	I	T	Gemelo enantiomórfico quiral
Diez tetraedros 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}			Dodecaedro (Icosaedro)	Ih	T	Auto-dual
Cinco cubos 2{5,3}[5{4,3}]			Dodecaedro (Triacontaedro rómbico)	Ih	Th	Cinco octaedros
Cinco octaedros [5{3,4}]2{3,5}			Icosidodecaedro (Icosaedro)	Ih	Th	Cinco cubos

Es bien conocido el compuesto de dos tetraedros, a menudo denominado estrella octángula, un nombre ideado por Johannes Kepler. Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo y el sólido común es un octaedro, que comparte los mismos planos que definen las caras del compuesto. Por ello es una estelación del octaedro, de hecho, la única estelación finita del mismo.

La estrella octángula también puede ser considerada como un compuesto dual regular.

El compuesto de cinco tetraedros posee dos versiones enantiomórficas, que al unirse forman el compuesto de 10 tetraedros. Cada uno de los compuestos tetraédricos es auto dual, y el compuesto de 5 cubos es dual con respecto al compuesto de 5 octaedros.

Compuestos poliédricos duales

Un compuesto dual está formado por un poliedro y su dual, dispuestos recíprocamente sobre una intraesfera o esfera media común, de forma que cada arista de un poliedro se cruza con una arista del poliedro dual. Existen cinco de estos compuestos duales de poliedros regulares.

Componentes	Imagen	Envolvente convexa	Núcleo	Simetría
Dos tetraedros (Estrella octángula)		Cubo	Octaedro	Oh
Cubo y Octaedro		Rombododecaedro	Cuboctaedro	Oh
Dodecaedro e Icosaedro		Triacontaedro rómbico	Icosidodecaedro	Ih
Gran icosaedro y Gran dodecaedro estrellado		Dodecaedro	Icosidodecaedro	Ih
Pequeño dodecaedro estrellado y Gran dodecaedro		Icosaedro	Dodecaedro	Ih

El tetraedro es auto dual, así que el compuesto dual de un tetraedro con su poliedro dual es también la estrella octángula regular.

El cubo-octaedro y el dodecaedro-icosaedro, compuestos duales, son la primera estelación del cuboctaedro y del icosidodecaedro respectivamente.

El compuesto del pequeño dodecaedro estrellado y del gran dodecaedro es igual al pequeño dodecaedro estrellado, porque el gran dodecaedro queda completamente contenido en el interior de su dual. Por esta razón, la imagen con la que se representa en la tabla anterior el pequeño dodecaedro estrellado es alámbrica.

Compuestos poliédricos uniformes

En 1976 John Skilling publicó "Compuestos Uniformes de Poliedros Uniformes", obra en la que enumeró 75 compuestos (incluyendo 6 conjuntos de compuestos prismáticos infinitos, #20-#25) formados a partir de poliedros uniformes con simetría rotacional (cada vértice es transitivo con cada otro vértice). Esta lista incluye los cinco compuestos regulares anteriormente descritos.^[1]​

Los 75 compuestos uniformes están listados en la tabla siguiente. La mayoría se muestra con un color distinto para cada poliedro. Algunos pares quirales de grupos de caras se han coloreado según su simetría dentro de cada poliedro.

• 1-19: Misceláneos (4, 5, 6, 9, 17 son los 5 compuestos regulares)

• 20-25: Simetría prismática embebida en simetría prismática,

• 26-45: Simetría prismática embebida en simetría octaédrica o icosaédrica,

• 46-67: Simetría tetraédrica embebida en simetría octaédrica o icosaédrica,

• 68-75: Pares enantiomórficos,

Otros compuestos poliédricos

Estos compuestos, de cuatro cubos, y cuatro octaedros (duales), no son compuestos regulares, ni duales, ni uniformes.

• Compuesto de tres octaedros
• Compuesto de cuatro cubos

Dos poliedros que son compuestos pero que tienen sus elementos rígidamente ligados a su emplazamiento son el pequeño icosidodecaedro complejo (compuesto de icosaedro y de gran dodecaedro) y el gran icosidodecaedro complejo (compuesto del pequeño dodecaedro estrellado y del gran icosaedro). Si se generaliza la definición de poliedro uniforme, entonces se pueden considerar uniformes.

La sección de pares entianomórficos en la lista de Skilling no contiene el compuesto de dos grandes dodecicosidodecaedros erizados, en el que las caras pentagrámicas coincidirían. Eliminando las caras coincidentes se obtiene el compuesto de veinte octaedros.

Compuestos de 4-politopos

Proyecciones ortogonales

75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

En 4 dimensiones, existe un gran número de compuestos regulares de politopos regulares. Coxeter lista unos cuantos de ellos en su libro "Regular Polytopes":^[2]​

Auto-duales:

Pares duales:

Compuestos uniformes y duales con 4-politopos convexos:

Posiciones duales:

Compuestos con 4-politopos regulares estrellados

Compuestos auto-duales estrellados:

Pares duales de compuestos estrellados:

Compuestos uniformes estrellados y duales:

Teoría de grupos

En términos de la teoría de grupos, si G es el grupo de simetría de un compuesto poliédrico, y las operaciones del grupo actúan transitivamente sobre el poliedro (de modo que cada poliedro puede ocupar la posición de cualquiera de los otros, como en los compuestos uniformes), entonces si H es una operación sobre un solo poliedro determinado, el poliedro puede ser identificado con la órbita espacial G/H – el conjunto asociado gH corresponde a cada poliedro g con el que puede coincidir el poliedro dado.

Compuestos de teselados

Existen dieciocho familias de dos parámetros de compuestos regulares que teselan el plano euclidiano. En el plano hiperbólico, se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero aquí no se enumera este listado completo.

Las familias compuestas euclidiana e hiperbólica 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, siendo p un entero) son análogas a la estrella octángula esférica, 2 {3,3}.

Unos cuantos ejemplos de compuestos regulares euclidianos e hiperbólicos

Auto-dual	Duales		Auto-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Un ejemplo conocido de retículos euclidianos compuestos regulares en cinco o más dimensiones es la familia infinita de compuestos de teselados hipercúbicos, con todos sus elementos compartiendo vértices y caras con otros teselados hipercúbicos. Este compuesto puede contener cualquier número de teselados hipercúbicos.

También existen teselados compuestos dual-regulares. Un ejemplo sencillo es el compuesto E2 de un teselado hexagonal y su dual, el teselado triangular. Los compuestos euclidianos de dos teselados hipercúbicos son ambos regulares y duales-regulares.

Referencias

Enlaces externos

• Klitzing, Richard. «Compound polytopes». 

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Compound polyhedra – from Virtual Reality Polyhedra
• Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
• Polyhedral Compounds
• Skynet. Polyhedra fleurent Archivado el 19 de octubre de 2009 en Wayback Machine.
• Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}

Bibliografía

• Skilling, John (1976), «Uniform Compounds of Uniform Polyhedra», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 79: 447-457, ISBN 0521664055, doi:10.1017/S0305004100052440 ..
• Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge, ISBN 9780521664059 ..
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 51-53, ISBN 9780521245241 ..
• Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds, unpublished manuscript ..
• Hess, Edmund (1876), «Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder», Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 11: 5-97 ..
• Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione ..
• Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  p. 87 Five regular compounds

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