Polinomio positivo

En matemáticas, un polinomio positivo en un conjunto dado es un polinomio cuyos valores son positivos en aquél conjunto.

Sea p un polinomio en n variables con coeficientes reales y sea S un subconjunto del espacio vectorial n-dimensional euclidiano ℝⁿ. Decimos que:

• p es positivo en S si p(x) > 0 para toda x en S.
• p es no-negativo en S si p(x) ≥ 0 para toda x en S.
• p es cero en S si p(x) = 0 para toda x en S.

Para ciertos conjuntos S, hay descripciones algebraica de todos los polinomios que son positivos, no-negativos, o cero en S. Tal descripción es un positivstellensatz, nichtnegativstellensatz, o nullstellensatz. Este artículo se centrará en la primera de estas descripciones. Para la última de estas, véase Hilbert Nullstellensatz, el cual es el nullstellensatz más conocido.

Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

• Polinomios globalmente positivos y su descomposición en suma de cuadrados .
  • Cada polinomio real en una variable y con grado par es no-negativo en ℝ si y sólo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable.^[1]​ Esta equivalencia no se puede generalizar para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio Motzkin ${\displaystyle x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}$ es no-negativo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ pero no es una suma de cuadrados de elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$.^[2]​
  • Un polinomio real en n variables es no-negativo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si y sólo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en n variables (léase el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin).^[3]​
  • Supongamos que ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ es homogéneo de grado par. Si es positivo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$, entonces existe un entero m tal que ${\displaystyle (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})^{m}\cdot p}$ es una suma de cuadrados de elementos de ${\displaystyle \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.^[4]​
• Polinomios positivos en politopos.
  • Para polinomios de grado ≤ 1 tenemos la variante siguiente de Lema de Farkas: Si ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{k}}$ tienen grado ≤ 1 y ${\displaystyle f(x)\geq 0}$para toda ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ que satisface ${\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\ldots ,g_{k}(x)\geq 0}$, entonces existen números reales no negativos ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{k}}$ tales que ${\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\ldots +c_{k}g_{k}}$.
  • Teorema de Pólya^[5]​: Si ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ es homogéneo y ${\displaystyle p}$ es positivo en el conjunto ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0,\ldots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\ldots +x_{n}\neq 0\}}$, entonces existe un entero ${\displaystyle m}$ tal que ${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})^{m}\cdot p}$ tiene coeficientes no negativos.
  • Teorema de Handelman:^[6]​ Si ${\displaystyle K}$ es un politopo compacto en un espacio Euclidiano de dimensión ${\displaystyle d}$, definido por las desigualdades lineales ${\displaystyle g_{i}\geq 0}$, y si ${\displaystyle f}$ es un polinomio en ${\displaystyle d}$ variables que es positivo en ${\displaystyle K}$, entonces ${\displaystyle f}$ puede ser expresado como combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de elementos del conjunto ${\displaystyle \{g_{i}\}}$.
• Polinomios positivos en conjuntos semialgebráicos.
  • El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle.
  • Para conjuntos semialgebráicos compactos, tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen^[7]​^[8]​, el positivstellensatz de Putinar^[9]​,^[10]​ y el positivstellensatz de Vasilescu^[11]​. Un punto común entre estos es que ningún denominador se necesita.
  • Para conjuntos semialgebráicos de buen comportamiento y de dimensión baja, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores.^[12]​^[13]​^[14]​

Generalizaciones de positivstellensatz

Positivstellensatz también existen para polinomios trigonométricos, polinomios matriciales, polinomios en variables libres, varios polinomios cuánticos, et cétera [cita faltante].

Referencias

• Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Real Algebraic Geometry. Traducido del texto original francés en 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. x+430 pp. ISBN 3-540-64663-9.
• Marshall, Murray. "Positive polynomials and sums of squares". Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1.

Notas

Véase también

• Suma de cuadrados (SOS) Polinomial
• El decimoséptimo problema de Hilbert

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