Polígono regular

En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se denominan triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.^[1]​

Elementos de un polígono regular

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• Vértice, V: punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
• Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los lados.
• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
• Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados .
• Semiperímetro, p: es la mitad del perímetro.
• Sagita, S': parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

Propiedades de un polígono regular

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma longitud.

Ángulos de un polígono regular

Central

• Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

Interior

• El ángulo interior, ${\displaystyle \beta \,}$, de un polígono regular mide:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos interiores, ${\displaystyle \sum \beta \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}$ en radianes

Exterior

• El ángulo exterior, ${\displaystyle \gamma \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos exteriores, ${\displaystyle \sum \gamma \,}$, de un polígono regular es:

${\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}$ en radianes

Galería de polígonos regulares

Triángulo equilátero (3)	Cuadrado (4)	Pentágono (5)	Hexágono (6)

Heptágono (7)	Octágono (8)	Eneágono (9)	Decágono (10)

Undecágono (11)	Dodecágono (12)	Tridecágono (13)	Tetradecágono (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}$

Demostración

Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es: ${\displaystyle A_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}$ Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será: ${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;}$ Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos: ${\displaystyle A_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;}$

O de otro modo

${\displaystyle A=a\cdot p}$

el área es igual al producto de apotema: a por semiperímetro: p.

En función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}}$

Además ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

${\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Sustituyendo el lado:

${\displaystyle A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}}$

Finalmente:

${\displaystyle A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

${\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}$

${\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}$

donde el ángulo central es:

${\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$

sabiendo que el área de un polígono es:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

${\displaystyle A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}$

ordenando tenemos:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}$

sabiendo que:

${\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}$

resulta:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados

si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

${\displaystyle A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}}$

Sea ${\displaystyle \varphi }$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}$

Despejando la apotema tenemos:

${\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}$

Sustituimos la apotema por su valor:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}$

Se puede ver en el dibujo que ${\displaystyle \tan(\delta )={\frac {1}{\tan(\varphi )}}}$ y la fórmula puede escribirse también como ${\displaystyle A_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}}$.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Apotema y sagita

La apotema, ${\displaystyle a}$, de un polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados de longitud ${\displaystyle L}$ viene dada por

${\displaystyle a={\frac {L}{2\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$^[2]​

O bien, en función del circunradio, ${\displaystyle R}$,

${\displaystyle a=R\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$^[2]​

La sagita, ${\displaystyle s}$, de un polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados de longitud ${\displaystyle L}$ viene dada por

${\displaystyle s={\frac {L}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}$^[2]​

O bien, en función del circunradio,

${\displaystyle s=2\cdot R\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}$^[2]​

Diagonales

Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

• De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
• Esto es válido para los n vértices del polígono.
• Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

${\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Longitud de la diagonal más pequeña

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}}$

que resulta:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}}$

de donde deducimos que:

${\displaystyle d=2r\sin({\alpha })\,}$

Sabiendo el valor del ángulo central:

${\displaystyle d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

Longitud de las diagonales

En general la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

${\displaystyle d_{k}^{2}=L^{2}+d_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}}$

${\displaystyle L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}}$

${\displaystyle d_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle d_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}}$

${\displaystyle d_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)}$

Parametrización de un polígono regular con un triángulo rectángulo.

En una circunferencia de radio establecido, puede construirse un polígono regular inscrito y circunscrito con n lados a regla y compás en algunos casos de polígonos, y se utilizan softwares CAD para mayor precisión. Tomando como referencia el segundo teorema de Tales y el teorema de Pitágoras, es posible relacionar todos los parámetros de un polígono regular sea inscrito y circunscrito con un triángulo rectángulo. Esto se cumple cuando el ángulo theta opuesto al lado del polígono inscrito o circunscrito, cumple con el siguiente criterio: θ = 180°/n , siendo n el número de lados del polígono y debe ser un número entero mayor que 2.

Véase también

• Figuras geométricas
• Polígono
• Polígono equilátero
• Estrella (figura geométrica)
• Regla y compás
• Trigonometría

Referencias

Bibliografía

1. Echegaray, José (2001). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
2. Equipo: Rosalía de Castro (2000). Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
3. Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4. 

Enlaces externos

• Polígono regular Archivado el 11 de junio de 2017 en Wayback Machine.