Paralelepípedo

Un paralelepípedo (del latín parallelepipĕdum, y este del griego παραλληλεπίπεδον^[1]​ parallēlepípedon^[2]​ ‘planos paralelos’) es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices. Por analogía, se relaciona con un paralelogramo de la misma forma que un cubo se relaciona con un cuadrado. En geometría euclidiana, estos cuatro conceptos —paralelepípedo y cubo en tres dimensiones, paralelogramo y cuadrado en dos dimensiones— están definidos, pero en el contexto de una geometría afín más general, en la que los ángulos no se diferencian, solo existen los paralelogramos y paralelepípedos.

Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:

• Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.
• Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.
• Un prisma cuya base es un paralelogramo.

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prisilianoss, aquellos poliedros en los que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.^[3]​

Elementos característicos

• Caras opuestas
• Aristas opuestas
• Vértices opuestos
• Diagonal
• Plano diagonal
• Base
• Altura

Casos particulares

• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro o paralelepípedo rectangular. Es un caso particular del paralelepípedo recto.
• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos idénticos es un romboedro o paralelepípedo oblicuo.
• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro regular o cubo.

Volumen

En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara.

(1)${\displaystyle V=A\ h\,}$

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice.

(2)${\displaystyle V=w\ u\ v\,}$

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando (2 cm)(3 cm)(6 cm) = 36 cm³.

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

(3)${\displaystyle V=l^{3}\,}$

En general, si ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ y ${\displaystyle \mathbf {c} }$ son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

(4)${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|\,}$

La ecuación (4) es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

(5)${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|}$

Referencias

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Paralelepípedo.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre paralelepípedo.
• Weisstein, Eric W. «Parallelepiped». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 23 de noviembre de 2010. 

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