Paradoja de Bertrand

La Paradoja de Bertrand es un problema dentro de la interpretación clásica de la teoría de la probabilidad. Joseph Bertrand introdujo en su obra Calcul des probabilités (1888) como un ejemplo para demostrar que las probabilidades pueden no estar bien definidas si el mecanismo o método que produce la variable aleatoria no está claramente definido.

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Transcription

En 2008 Álex de la Iglesia rodó la película Los crímenes de Oxford, basada en una novela del matemático Guillermo Martínez Comienza con la lección magistral del profesor Arthur Seldom. En ella Seldom expone la imposibilidad de conocer la verdad, resultado obtenido del trabajo de Ludwig Wittgenstein. Según Seldom, Wittgenstein intentaba dar una estructura lógica que llevase a la "Verdad". En su libro, Tractatus, Wittgenstein afirma la expresión con la que se concluye la disertación del profesor: "De lo que no se puede hablar, hay que callar". Esto lleva al profesor a desdeñar la posibilidad de encontrar la verdad fuera de las matemáticas. En el Tractatus, Wittgenstein, intenta explicar el funcionamiento de la lógica, que ya había sido explicado por diferentes filósofos y matemáticos como Fiedrich Frege y Bertrand Russell. De hecho Wittgenstein fue alumno de Russell. Frege y Russell se empeñaron en buscar un conjunto de verdades, que en matemáticas llamamos axiomas, de las que se pudiese cimentar cualquier otra verdad. Esa "Verdad", que Seldom le explicaba a sus alumnos, solo presente dentro de las matemáticas. Cuando Frege creyó haberlo conseguido, Russell le envió una carta que derrumbó el edificio lógico de todo su trabajo. En 1902, tras el primer volumen de su Leyes básicas de la Aritmética, escrito en 1893, donde había trabajado con las nuevas ideas de Cantor sobre conjuntos, creía establecidos los fundamentos correctos de la teoría de conjuntos. Donde la misma definición de conjunto era consistente. Sin embargo, Russell le planteo un problema: Llamemos M al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros"; es decir "Cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo". Ahora nos preguntamos: ¿es M un elemento de M? Atendiendo a lo expuesto M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es un absurdo Russell acababa de lapidar la concepción de conjunto que se tenía a comienzos del siglo XX Este resultado se conoce como La paradoja de Bertrand Russell, y echa por tierra la facilidad con la creemos poder decir qué es un conjunto. Así que cuando os preguntéis: ¿Qué es un conjunto? Pensad que es una pregunta difícil de contestar, es más fácil definir los conjuntos con lo que trabajaremos. De este modo no os quedaréis desolados como Fiedrich Frege, a quien le tiraron por la borda sus 20 años de investigación. Pero eso, es otra historia.

Formulación del Problema

Considere un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Suponga que una cuerda del círculo es escogida aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda sea mayor (en magnitud) que un lado del triángulo?

Bertrand da tres argumentos, aparentemente válidos, con diferentes resultados.

Puntos finales aleatorios

Cuerdas aleatorias, método 1 de selección ; rojo = más largo que lado del triángulo, azul=más corto

Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3).

Radio aleatorio

Cuerdas aleatorias, método 2 de selección

Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2).

Punto medio aleatorio

Se escoge un punto en cualquier lugar de círculo y se construye la cuerda con el punto selecto como punto medio de la cuerda. La cuerda es más larga que un lado del triángulo inscrito si el punto cae en el círculo concéntrico de la mitad del radio grande. El área del círculo pequeño es un cuarto del área del círculo grande, por lo que la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un cuarto (1/4).

Relación L/D

Si consideramos que un triángulo equilátero de lado L inscrito dentro de un círculo de diámetro D, la relación entre L y D es aproximadamente 0,87 (mejor dicho, L/D=cos(30°)), considerando que existen todas las cuerdas entre 0 y D con la misma ocurrencia, entonces solo un 13% de las cuerdas serán mayores a L

Datos: Q828552
Multimedia: Bertrand's paradox / Q828552

Esta página se editó por última vez el 9 ago 2023 a las 19:31.

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