Orden total acotado

En matemáticas, un conjunto presenta un orden total acotado respecto a una relación binaria cuando tiene un orden total y está acotado superior e inferiormente.^[1]​^[2]​

Definición

Dado un conjunto A y una relación binaria ${\displaystyle \precsim }$ definida entre los elementos de A, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ y la relación se representa:

${\displaystyle a\precsim b}$

Se dice que se ha definido un orden total acotado en el conjunto A, si la relación ${\displaystyle (A,\precsim )}$ cumple las propiedades:

Relación reflexiva

${\displaystyle \forall x\in A\;:\quad x\precsim x}$

Relación antisimétrica

${\displaystyle \forall x,y\in A\;:\quad x\precsim y\quad \land \quad y\precsim x\quad \longrightarrow \quad x=y}$

Relación transitiva

${\displaystyle \forall x,y,z\in A\;:\quad x\precsim y\quad \land \quad y\precsim z\quad \longrightarrow \quad x\precsim z}$

Relación total

${\displaystyle \forall x,y\in A\;:\quad x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x}$

y Acotado

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria ${\displaystyle \precsim }$, siendo ${\displaystyle (A,\precsim )}$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A es máximo si se cumple que:

${\displaystyle y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad x\precsim y}$

Se denomina máximo y define una cota superior en A; el elemento máximo es único. Si el conjunto A y la relación binaria ${\displaystyle \precsim }$, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ es un orden total y tiene máximo, entonces es un conjunto con orden total y acotado superiormente.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

${\displaystyle z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad z\precsim x}$

Se denomina mínimo y define una cota inferior en A; el elemento mínimo es único. Si el conjunto A y la relación binaria ${\displaystyle \precsim }$, que expresaremos ${\displaystyle (A,\precsim )}$ es un orden total y tiene mínimo, entonces es un conjunto con orden total y acotado inferiormente.

Un conjunto con orden total solo se dice acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Véase también

Relación matemática

Relación binaria

Conjunto preordenado

Conjunto parcialmente ordenado

Orden total

Acotado

Referencias

Bibliografía

1. Pérez Lluberes, Kreemly; López Ferreira, María Altagracia (1984). Algebra superior (1 edición). INTEC. ISBN 978-84-8952-514-6. 
2. Ralph P. Grimaldi (1998). Matemáticas discreta y combinatoria (3 edición). S.A. ALHAMBRA MEXICANA. ISBN 978-96-8444-324-2. 
3. Restrepo, Guillermo (2003). Fundamentos de las matemáticas (1 edición). Universidad del Valle. ISBN 958-670-215-4. 

Enlaces externos

Apuntes de Matem ́ática Discreta. Francisco José González Gutiérrez. Universidad de Cádiz

Apuntes de Teoría de Conjuntos. Enrique Arrondo. Universidad Complutense de Madrid

Apuntes de Análisis Matemático I. María D. Acosta. Camilo Aparicio. Antonio Moreno. Armando R. Villena. Universidad de Granada

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Relaciones de orden. Universidad de Almería

Axiomática de los números reales. Universidad de Cantabria

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