Operación interna

Una operación matemática, se dice que es una operación interna, en un conjunto A si para todos los valores de la operación el resultado pertenece a A.^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​

En el caso de un conjunto ${\displaystyle A\,}$ y una operación binaria ${\displaystyle \circledcirc }$ definida sobre él ${\displaystyle (A,\circledcirc )}$, tendremos que para dos elementos cualesquiera del conjunto A operados bajo ${\displaystyle \circledcirc }$, el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$

El resultado siempre pertenece al mismo conjunto:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\quad a\circledcirc b\in A}$

Ejemplo

Sea el conjunto de los números naturales: N y la operación suma: +, ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ podemos ver:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$

Se cumple:

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {N} :\quad x+y\in \mathbb {N} }$.

Para todo valor x e y que pertenecen a los números naturales, la suma x + y pertenece a los números naturales.

Por lo tanto ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ es una operación interna.

Si vemos el mismo conjunto de los números naturales y la operación resta: -, ${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}$ tenemos que:

${\displaystyle \neg \forall x,y\in N:\quad x-y\in N}$.

No para todos los valores x e y que pertenecen a N, x - y pertenece a N, o lo que es lo mismo:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {N} ,\quad \exists y\in \mathbb {N} :\quad x-y\notin \mathbb {N} }$.

Para todo valor x de N, existen valores y de N tal que x - y no pertenece a N, eso se da en todos los casos en los que y es mayor que x, por ejemplo, 3 - 5 no pertenece a N.

La operación resta de los números naturales no es una operación interna.

Véase también

• Conjunto
• Operación matemática
• Operación binaria

• Ley de composición
• Propiedades de las operaciones binarias
• Estructura algebraica

Referencias

Bibliografía

1. Díaz Martín, José Fernando; Arsuaga Uriarte, Eider; Riaño Sierra, Jesús M. (2005). Introducción al Álgebra. Netbiblo. ISBN 84-9745-128-7. 
2. Xambó Descamps, Sebastián Xambó Descamps; Delgado, Félix; Fuertes, Concha (1009). Introducción al álgebra (1 edición). Editorial Complutense. ISBN 9788474914283. 

Enlaces externos

Estructuras algebraicas básicas. Universidade da Coruña

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