Número de Skewes

En teoría de números, el número de Skewes es cualquiera de varios números e^x extremadamente grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como cota superior para el número natural más pequeño x para el cual

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

donde π es la función contador de números primos y li es la función integral logarítmica. Estas cotas desde entonces han sido mejoradas por otras. Hay un cruce cercano a ${\displaystyle e^{727.95133}}$, aunque se desconoce si es el más pequeño.

Historia

John Edensor Littlewood, profesor de Skewes, había demostrado en 1914^[1]​ que existen tales números (y por lo tanto, uno más pequeño entre ellos) y encontró que la diferencia π ( x ) - li ( x ) cambia de signos un número infinito de veces. Si tal número existe no estaba del todo claro en ese momento, ya que todos los résultats numériques disponibles parecían sugerir que π ( x ) es siempre menor que li ( x ). La prueba de Littlewood, sin embargo, no muestra ese número x : no es effective. De hecho, se basa en una alternativa: o el hipótesis de Riemann es falso, o la hipótesis de Riemann es verdadera y la prueba es entonces más difícil.^[2]​ (Por lo tanto, se basó en el principio del tercero excluido).

Skewes demostró en 1933^[3]​ que, asumiendo la hipótesis de Riemann como verdadera, existe tal número x, menor que ${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{79}}}.}$

Este límite superior es a veces llamado primer número de Skewes y es aproximadamente igual a ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}.}$

En 1955,^[4]​ sin utilizar la hipótesis de Riemann, logró demostrar que existe tal x menor que ${\displaystyle 10^{10^{10^{963}}}.}$

Este número a veces se denomina "segundo número de Skewes".

Estos (enormes) límites superiores se han reducido considerablemente desde entonces: sin la hipótesis de Riemann, Herman te Riele dio en 1987^[5]​ el límite superior

${\displaystyle 7\times 10^{370}\ }$

y una mejor estimación, 1.39822 × 10³¹⁶, fue descubierta en 2000 por Carter Bays y Richard H. Hudson.

Referencias

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