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Núcleo (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Núcleo e imagen de un operador lineal L: V → W.
Núcleo e imagen de un operador lineal L: V → W.

En matemática y especialmente en álgebra lineal, el núcleo o kernel de un operador lineal A es el conjunto de todos los vectores cuya imagen bajo A sea el vector nulo.

El núcleo de A se denota como Ker A o Nucl A, y es un subespacio vectorial del dominio de A.

Ejemplos

Considérese la función f(x, y)= x−y, definida para cualquier par de números reales (x,y), que es lineal ya que se cumple que

.

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden, en concreto el conjunto:

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta en .

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

,

que equivale a la ecuación lineal:

.

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: .

Propiedades

Dado un operador lineal con matriz asociada A, el núcleo es un subespacio de , cuya dimensión se denomina nulidad de A, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Véase también

Enlaces externos


Esta página se editó por última vez el 16 feb 2021 a las 20:35.
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