To install click the Add extension button. That's it.

The source code for the WIKI 2 extension is being checked by specialists of the Mozilla Foundation, Google, and Apple. You could also do it yourself at any point in time.

4,5
Kelly Slayton
Congratulations on this excellent venture… what a great idea!
Alexander Grigorievskiy
I use WIKI 2 every day and almost forgot how the original Wikipedia looks like.
What we do. Every page goes through several hundred of perfecting techniques; in live mode. Quite the same Wikipedia. Just better.
.
Leo
Newton
Brights
Milds

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En varios campos de las matemáticas, se llaman morfismos (u homomorfismos) a las aplicaciones entre estructuras matemáticas que preservan la estructura interna. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, los morfismos son las funciones entre conjuntos; en álgebra lineal, las transformaciones lineales; y en topología, las funciones continuas.

En teoría de categorías, el morfismo es una noción más general; una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X e Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son frecuentemente representados como flechas entre esos objetos. En el caso de una categoría concreta, X e Y son conjuntos de cierto tipo y un morfismo f es una función desde X a Y satisfaciendo alguna condición; este ejemplo origina la notación f: XY. Pero no toda categoría es concreta, por tanto estos no son los únicos tipos de morfismos.

Definición

Los morfismos forman parte de la definición de categoría. Dentro de una categoría, cada morfismo tiene asociados dos objetos de la categoría, su dominio y su codominio, que se notan respectivamente por y .[1]​ Un morfismo con y suele notarse como .

Los morfismos dentro de una categoría deben cumplir además los siguientes axiomas:

  • para cada par de morfismos cumpliendo que , existe su composición . La composición es asociativa, cumpliendo que para cualquier morfismo componible .
  • cada objeto consta de un morfismo identidad . Esta identidad es un elemento neutro respecto de la composición; es decir, se tendrá y en los casos en los que los morfismos sean componibles.

Tipos de morfismos

Monomorfismos y epimorfismos

Un morfismo se llama monomorfismo cuando es cancelable a izquierda,[2]​ es decir, cuando para cualquier se cumple que . Dualmente, un morfismo se llama epimorfismo cuando es cancelable a derecha, es decir, cuando para cualquier se cumple que .

A los morfismos que son monomorfismos y epimorfismos se les llama bimorfismos.

Inversas laterales

En el caso en el que existan dos morfismos y cumpliendo que , diremos que el morfismo tiene una inversa a izquierda, o, equivalentemente, que es una sección; mientras que el morfismo tiene una inversa a derecha, o, equivalentemente, que es una retracción.[2]

Nótese que toda sección debe ser un monomorfismo y que toda retracción debe ser un epimorfismo. Debido a esto, a las secciones se las llama también monomorfismos escindidos (split monomorphism) y a las retracciones se las llama epimorfismos escindidos (split epimorphism). Sin embargo, el converso no es cierto; existen categorías en las que no todos los monomorfismos y epimorfismos son escindidos.

Isomorfismos

Un morfismo se llama isomorfismo cuando es invertible, es decir, cuando existe un morfismo tal que y .

Cuando un morfismo tiene inversa a izquierda y a derecha, puede demostrarse que ambas deben coincidir. En este caso, se la llama simplemente inversa. La inversa de un morfismo es única y es a su vez un isomorfismo que tiene a como inversa.[2]​ Nótese que todo isomorfismo es en particular un bimorfismo, pero que no todo bimorfismo es un isomorfismo.

Dos objetos con un isomorfismo entre ellos se llaman isomorfos o equivalentes. La isomorfía es una relación de equivalencia y se nota como .

Endomorfismos y automorfismos

Los morfismos que tienen a un objeto como dominio y codominio, , se llaman endomorfismos de . Un automorfismo es un endomorfismo que es además un isomorfismo.

Ejemplos

Algunos ejemplos de morfismos son homomorfismos de las categorías estudiadas en álgebra universal (tales como los de grupos, anillos, etc), funciones continuas entre espacios topológicos, elementos de un monoide cuando es visto como categoría, caminos en un espacio topológico (lo que engendra a un grupoide), funtores entre categorías, y muchos otros.

Enlaces externos

Referencias

  1. Saunders MacLane. "Categories for the working mathematician", página 10.
  2. a b c Saunders MacLane. "Categories for the working mathematician", capítulo 1.5 "Monics, Epis and Zeros"
Esta página se editó por última vez el 15 jun 2021 a las 00:46.
Basis of this page is in Wikipedia. Text is available under the CC BY-SA 3.0 Unported License. Non-text media are available under their specified licenses. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 is an independent company and has no affiliation with Wikimedia Foundation.