Matriz de Gram

En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por ${\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$. Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Propiedades

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

• Es hermítica o hermitiana, según lo que postula Charles Hermite

${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}^{*}}$

En caso de que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}$

• Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
• Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:

${\displaystyle |G_{i}|>0\quad i=1,\dots ,n;{\text{ siendo }}G_{i}={\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots &g_{1i}\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{i1}&\cdots &g_{ii}\\\end{pmatrix}}}$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.

Determinante de Gram

El determinante de Gram o gramiano ${\displaystyle \scriptstyle G(x_{1},\dots ,x_{n})}$ de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n² productos escalares formados con esos vectores:

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &&\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}}$

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle L^{2}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle L^{2}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;"/></span>, tales como funciones continuas en un intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$ (que es un subespacio de ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$).

Dada una función de variable real ${\displaystyle \{l_{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$ definida en el intervalo ${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$, la matriz de Gram ${\displaystyle G=[G_{ij}]}$, se define como el producto escalar estándar de funciones: ${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau }$.

Dada una matriz A, la matriz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A}$ es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz ${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }}$ es la matriz de Gram de las filas de A.

Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$, como ${\displaystyle G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,}$. Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.

Enlaces externos

• Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. Archivado desde el original el 22 de noviembre de 2008. 

Esta página se editó por última vez el 17 abr 2023 a las 17:36.