Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ y su proyección sobre otro vector ${\displaystyle \mathbf {u} }$, es perpendicular al vector ${\displaystyle \mathbf {u} }$.^[1]​ Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Interpretación geométrica

En el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera. Sean ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}\in \mathbb {R} ^{3}}$ dichos vectores.

El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ compuesta por ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}}$, se calcula de la siguiente manera.

1. Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo, ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}}$.
2. ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ se calcula como la diferencia entre ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ y el vector que resulta de proyectar a ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ sobre ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$. Dicha diferencia es perpendicular a ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$. Es equivalente afirmar que ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ es la diferencia entre ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ y el vector que resulta de proyectar a ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ sobre la recta que genera ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$.
3. ${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$ es la diferencia entre ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$ y el vector que resulta de proyectar a ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$ sobre el plano generado por ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos. Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.

Descripción del algoritmo de ortogonalización de Gram–Schmidt

El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclídea.

En primer lugar tenemos que:

${\displaystyle \mathbf {v} -{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} =\mathbf {v} -\mathrm {proy} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )}$

Es un vector ortogonal a ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Entonces, dados los vectores ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ , se define:

	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},}$
	${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-{\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {u} _{1}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{1}\rangle }\mathbf {u} _{1},}$
	${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-{\langle \mathbf {v} _{3},\mathbf {u} _{1}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{1}\rangle }\mathbf {u} _{1}-{\langle \mathbf {v} _{3},\mathbf {u} _{2}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }\mathbf {u} _{2},}$ Generalizando en k:
	${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}{\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {u} _{j}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{j},\mathbf {u} _{j}\rangle }\mathbf {u} _{j}}$

A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectores ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ es ortogonal.

Los conjuntos así definidos satisfacen la siguiente relación.

Para obtener una base ortonormal a partir de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, basta con dividir entre la norma de cada vector de la base hallada: ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}={\mathbf {u} _{k} \over ||\mathbf {u} _{k}||}={\mathbf {u} _{k} \over {\sqrt {\langle \mathbf {u} _{k},\mathbf {u} _{k}\rangle }}}}$

Ejemplos

• Dada ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\right\}}$ una base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ definida por

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}\mathbf {v} _{1}&=&{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {v} _{2}&=&{\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}}\end{array}}\right.}$

  mediante el proceso de Gram-Schmidt es posible construir una base ortogonal ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\right\}}$ con respecto al producto interno usual de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

  ${\displaystyle \left\langle (a,b),(c,d)\right\rangle =ac+bd}$.

  Se calculan los vectores u₁ y u₂ a partir de las fórmulas.

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rlcl}\mathbf {u} _{1}=&\mathbf {v} _{1}&=&{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}\\&\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{1}}\left(\mathbf {v} _{2}\right)&=&{\frac {\left\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {v} _{2}\right\rangle }{\left\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{1}\right\rangle }}\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {12}{5}}\\{\frac {6}{5}}\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}=&\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{1}}\left(\mathbf {v} _{2}\right)&=&{\begin{bmatrix}-{\frac {7}{5}}\\{\frac {14}{5}}\end{bmatrix}}\end{array}}\right.}$

  nótese que

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {7}{5}}\\{\frac {14}{5}}\end{bmatrix}}={\frac {7}{5}}{\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}}$

  de hecho, dado cualquier vector ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$ y ${\displaystyle \forall \;\alpha \in \mathbb {R} }$ se cumple

  ${\displaystyle \left\langle (a,b),\alpha (-b,a)\right\rangle =0}$.

• Sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}\right\}}$ el sistema definido por

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}\mathbf {v} _{1}&=&{\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {v} _{2}&=&{\begin{bmatrix}1\\0\\10\end{bmatrix}}\\\mathbf {v} _{3}&=&{\begin{bmatrix}2\\-3\\11\end{bmatrix}}\end{array}}\right.}$

  Aplicamos el proceso, seleccionamos por ejemplo

  ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}}}$

  y calculamos

  ${\displaystyle \operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{1}}\left(\mathbf {v} _{2}\right)={\frac {\left\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {v} _{2}\right\rangle }{\left\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{1}\right\rangle }}\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}4\\2\\2\end{bmatrix}}}$

  luego

  ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{1}}\left(\mathbf {v} _{2}\right)={\begin{bmatrix}-3\\-2\\8\end{bmatrix}}}$.

  Análogamente se sigue para u₃ que

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcc}\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{1}}\left(\mathbf {v} _{3}\right)&=&{\begin{bmatrix}4\\2\\2\end{bmatrix}}\\\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {v} _{3}\right)&=&{\begin{bmatrix}-{\frac {24}{7}}\\-{\frac {16}{7}}\\{\frac {64}{7}}\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{1}}\left(\mathbf {v} _{3}\right)-\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {v} _{3}\right)&=&{\begin{bmatrix}{\frac {10}{7}}\\-{\frac {19}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}\end{array}}\right.}$

  finalmente se obtiene

  ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}\right\}=\left\{{\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-3\\-2\\8\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}{\frac {10}{7}}\\-{\frac {19}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}\right\}}$

  que es una base ortogonal de R³ con respecto al producto escalar canónico.

Descripción formal

Una manera de expresar el algoritmo explícitamente es a través de pseudocódigo. Se construye, para ello, una función con las siguientes características.

• Tiene como entrada un conjunto ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ no vacío de vectores linealmente independientes.
• Recibe dos instrucciones iterativas anidadas.
  1. Una estructura para cada, que asigna a v un vector de la entrada, por cada iteración.
  2. Una estructura mientras, que asigna a u el vector ortogonal a todos los u calculados en las iteraciones previas.
  En cada iteración, se ejecutan las funciones
  1. Proy, la cual calcula la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Se define matemáticamente como sigue.
     ${\displaystyle \operatorname {Proy} :V\times V\longrightarrow V,\,\operatorname {Proy} \left(v_{1},v_{2}\right)=\left({\frac {\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle }{\left\|v_{2}\right\|^{2}}}\right)v_{2}}$ donde V es un espacio vectorial.
  2. obtener, como su nombre lo indica, obtiene el elemento de un conjunto dado su ordinal.
• Devuelve finalmente un conjunto ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ de vectores ortogonales.

Para obtener una base ortonormal, basta normalizar los elementos de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt con el método de Gauss

Dada una matriz M cuyos vectores fila son los vectores de una base a ortogonalizar, si se aplica la eliminación Gaussiana por filas a la matriz ${\displaystyle (M\cdot M^{t}|M)}$.

Ejemplo

Se realiza con la eliminación de Gauss la ortogonalización de Gram-Schmidt a la base dada por las filas de ${\displaystyle M}$:

  Para ello escribimos a la derecha la matriz de su producto escalar ${\displaystyle M\cdot M^{t}}$

  Y se realiza la eliminación Gaussiana

A Fila2 le restamos la Fila1 por 2

A Fila3 le restamos la Fila1 por 2

A Fila3 por 7 le restamos la Fila2 por 8 

Las filas de la derecha son una base ortogonal,

cuyos vectores son proporcionales a los que se obtuvieron anteriormente con el proceso de Gram-Schmidt.

Referencias

Esta página se editó por última vez el 6 abr 2024 a las 02:27.