Lema de la serpiente

El lema de serpiente es una herramienta utilizada en matemáticas, particularmente en álgebra homológica, para construir secuencias exactas largas. El lema de serpiente es válido en todas las categorías abelianas y es una herramienta crucial en el álgebra homológica y sus aplicaciones, por ejemplo en la topología algebraica. Los homomorfismos construidos con su ayuda son generalmente llamados homomorfismos conectores.

Enunciado

En una categoría abeliana (como la categoría de los grupos abelianos o la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado), se considera un diagrama conmutativo:

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero.

Entonces hay una secuencia exacta relacionando los núcleos y conúcleos de a, b, y c:

\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c

donde d es un homomorfismo, conocido como el homomorfismo conector.

Además, si el morfismo f es un monomorfismo, entonces también lo es el morfismo, ker a → ker b; y si g' es un epimorfismo, entonces también lo es coker b → coker c.

Explicación del nombre

Para ver de dónde toma su nombre el lema de la serpiente, basta expandir el diagrama anterior como sigue:

Y entonces darse cuenta de que la secuencia exacta que surge como conclusión del lema puede ser dibujada en este esquema expandido en la forma de "S" invertida de una serpiente.

En la cultura popular

La demostración del lema de la serpiente es enseñada por el personaje de Jill Clayburgh al principio de la película de 1980 Ahora me toca a mí.

Referencias

Serge Lang: Álgebra. 3.ª edición, Salmer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157@–159 (online copy, p. 157, en Google Libros, p. 157, en Libros de Google)
M. F. Atiyah; Yo. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p. 99 (online copy, p. 99, at Google Books)