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Función inyectiva

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Ejemplo de función inyectiva no suprayectiva.
Ejemplo de función inyectiva no suprayectiva.

En matemáticas, una función:

es inyectiva, uno a uno, si a elementos distintos del conjunto (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto (codominio) de , es decir, cada elemento del conjunto tiene a lo sumo una preimagen en , o, lo que es lo mismo, en el conjunto no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Por ejemplo, la función

no es inyectiva pues el valor 4 puede obtenerse como y pero si el dominio se restringe a los números reales positivos (obteniendo así una nueva función ) entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición

Sea una función cuyo dominio es el conjunto , se dice que la función es inyectiva si para todo y en , si entonces , esto es implica . Equivalentemente, si entonces . Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

Para probar que una función no es inyectiva, basta con hallar dos valores distintos del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.

Ejemplos

  • Para cualquier conjunto y subconjunto , el mapa de inclusión (el cual envía cualquier elemento a sí mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
  • La función definida por es inyectiva.
  • La función definida por es inyectiva.
  • La función definida por no es inyectiva porque (por ejemplo) . Sin embargo, si se redefine de manera tal que su dominio es el conjunto de los números reales no negativos entonces es inyectiva.
  • La función exponencial definida por es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
  • La función logaritmo natural definida por es inyectiva.
  • La función definida por no es inyectiva, ya que .

Si y son subconjuntos de , geométricamente, una función es inyectiva si su gráfica nunca es intersectada por una recta horizontal más de una vez. Este principio es conocido como la prueba de la línea horizontal.[1]

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Inyectividad en el espacio euclideo

Dada una función diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuándo esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

donde:

es la matriz jacobiana de la función.
es la función determinante.

Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante si se cumple:

Donde:

, es la clausura topológica del dominio .

Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que si el dominio es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere .

Referencias

  1. Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (5th. edición). Toronto ON: Brook/Cole. p. 64. ISBN 0-534-39330-6. Consultado el 15 de julio de 2012. «Por lo tanto, disponemos del siguiente método geométrico para determinar si una función presenta una correspondencia uno-a-uno.» 

Véase también

Esta página se editó por última vez el 4 sep 2021 a las 19:20.
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