Grupo circular

El grupo circular, representado por ${\displaystyle S^{1}}$, es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad ${\displaystyle S^{1}}$ del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos,

${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert =1\}}$,

con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano.

Todo elemento de ${\displaystyle S^{1}}$ es de la forma ${\displaystyle e^{i\theta }}$, con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de ${\displaystyle S^{1}}$ hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues ${\displaystyle e^{i\theta _{1}}\cdot e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}}$, lo que muestra que el producto de elementos de ${\displaystyle S^{1}}$ equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo.

El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\{z\in \mathbb {C} :z\neq 0\}}$. Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos ${\displaystyle S^{1}}$ y ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ son isomorfos.^[1]​

Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de ${\displaystyle 1\times 1}$, representado por ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$.

Propiedades

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\operatorname {sen} t\\\operatorname {sen} t&\cos t\end{bmatrix}}}$

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo ${\displaystyle \mathrm {U} (1)\,}$ también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de ${\displaystyle 1\times 1}$ de entrada compleja

${\displaystyle e^{i\theta }\cong {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$

aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos. El símbolo ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)\,}$ representa el conjunto de estas matrices de ${\displaystyle 2\times 2}$ cuyo determinante es igual a uno (${\displaystyle \mathrm {SO} (2):=\{A\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {R} ):\det(A)=1\}}$). El conjunto ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)\,}$ también es isomorfo a ${\displaystyle \mathrm {U} (1)\,}$.

Referencias

• Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348 ISBN 812240120 [1]

Esta página se editó por última vez el 8 abr 2023 a las 14:14.