En matemáticas, las funciones de parte entera son funciones que toman un número real y devuelven un número entero próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:
Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:
- Función techo, que a cada número real asigna el número entero más próximo por exceso, es decir, el menor número entero igual o mayor que ese número real. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente ceil o Ceil (por ceiling, «techo» en inglés).
- Función piso (o suelo), que a cada número real asigna el mayor número entero igual o menor que ese número real (por ejemplo, si tenemos el caso [-2.4], este se acercaría al valor -3; o aplicándolo a un caso positivo sería [1.5], este se acercaría al valor 1). Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente floor o Floor («suelo» en inglés).
- Truncamiento, que a cada número real se le asigna el número entero resultado de ignorar su parte decimal.
- Redondeo, que a cada número real asigna el número entero más próximo según su parte decimal.
Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una [[onda de sierra.. la forma es entera
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Qué es una función parte entera
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Funcion parte entera de 2x - función piso o función suelo SECUNDARIA (4ºESO) matemáticas E(x)
Transcription
Hola, chicos. ¿Qué tal? Gracias por venir a clase. Aquí estamos otra vez, con un ejercicio que lleváis pidiendo desde hace muchísimo tiempo. Bueno, unos ejercicios, porque grabaré un par de vídeos... ...que se trata de FUNCIÓN PARTE ENTERA. La función parte de X en este caso... luego haremos la de (x+4), 2x, etc., se representa con la letra "E" mayúscula, y entre paréntesis, X. O E mayúscula, y entre paréntesis X más 4. Y también se representa con corchetes, lo que sea entre corchetes, en los cuales hemos eliminado la parte superior, la línea vertical del corchete. Ésto se refiere a función suelo o función piso, y ésta se refiere a función techo. Pero ambas funciones son funciones de parte entera, aunque la más utilizada es ésta. Función parte entera, función suelo o función piso. ¿Cuál es la definición exacta? La definición de la función parte entera es El mayor de los números enteros que es menor o igual que K Con el 1,5 lo entenderéis y con el resto.. luego haremos más casos En el 1,5 ¿cuál es el mayor de los números enteros menor o igual que 1,5? Bueno, pues los números enteros son 0, 1, 2, 3, 4, el -1 también, el -2. El mayor de los números enteros, el 1 o el 2, que es inferior o igual que 1'5 es el 1, porque el 2 es más grande. Así de sencillo. Por lo tanto, la parte entera de 1'5 es 1. ¿Y con el 1, que es justo el caso que está en el extremo? Si os fijáis, la imagen del 1 no es 0, aquí hay "redondelito abierto", no es este punto, sino que es 1. ¿Por qué? Porque el mayor de los números enteros menor o igual que 1 es el propio 1, ¿lo entendéis? Por eso la imagen del 1 es 1. Y todos los puntos entre el 1 y el 2, el 1'1, el 1'2, 1'3... tendrán parte entera 1. Con los números negativos, por ejemplo -0'3, tenéis que tener un pequeño cuidado con una cosa, y es que, el mayor de todos los números enteros que es menor o igual, por ejemplo, que -0'2 es -1, no es 0. ¿Porqué? Porque el 0 es más grande que -0'2. Recordad siempre que 2, por ejemplo, es muchísimo mayor que -20. Cuidado con los números negativos, cuanto más a la derecha, mayor. Por lo tanto, insisto, la parte entera de -0'2 será el mayor de los números enteros -podría ser el -1 o el 0- que es inferior o igual que -0'2, en este caso, el -1. Por eso, la parte entera de -0'2 está aquí, és el -1. Una vez que ya tenemos claro cuál es la parte entera de X, vamos a hacer la parte entera de X más 4, 2X, etc. Se puede hacer de dos maneras. Yo, en este caso particular, con el X más 4 voy a intentar hacer de dos de ellas. Tenemos X -4, -3, -2, he hecho una tabla de valores... Y vamos a hacer un paso previo, vamos a hallar X más 4; si hallamos X + 4 serían -4, si la X pongo un -4, me queda... -4 + 4= 0... - 3 + 4= 1.... -2 + 4= 2. Y así sucesivamente con todos los numeritos. Y ahora, como me sé esto de aquí, yo sé que la parte entera, en lugar de hacer la parte entera de -4, hago la parte entera de X + 4, es lo que tengo que hacer, haré la parte entera de 0. Y la parte entera de 0, si nos fijamos en ésta, es 0. La del 1, es 1. La del 2, es 2. Y la del 3 es 3, y la del 4 es 4, la del 5 es 5... y así sucesivamente. Ahora simplemente tenemos que dibujar. Pero en lugar de dibujar el (0,0), el (1,1) o el (2,2), dibujaremos lo que tenemos que dibujar. Ésta es una función en la que tenemos valores de X y hay que reprsentar f(x), lo que tenemos que representar es el punto (-4, 0) o (-3, 1) ¿de acuerdo? El (-4, 0).... el (-4,0) es éste. El (-3, 1).... el (-3, 1) es éste. El (-2, 2).... el (-2, 2). El (-1,3). El (0,4). El (1,5). Estaría más o menos aquí Y lo único que tenemos que hacer ahora es esto. Y luego, lo vamos a... lo vamos a... demostrar, ¿vale? Huy, qué feo me ha quedado esto. Me ha quedado muy chiquitita, pero bueno. Esto sería así. Y ésta sería así. Y así hasta el infinito, ¿vale? Vamos a comprobar que está bien hecho. Por ejemplo, el (-1,2). Si yo hago la parte entera de (X+4), y en la X sustituyo -1'2, estamos aquí ¿vale?, nos tiene que dar 2, ¿eh? Lo que nos quedará es la parte entera de (-1,2+4) que es 2'8. ¿Cuál es el número entero menor o igual, el mayor de los números enteros menor o igual que 2'8? Pues 2. Porque el 3 es superior a 2'8. Por tanto, el -1'2 tiene de imagen un 2. Vamos a utilizar el 0'7. Si hacemos la parte entera cuando la X sea 0'7 "", cuando la X sea 0'7, estamos aquí, nos tiene que dar 4. A ver si es verdad. 0'7 más 4 es 4'7. La parte entera de 4'7 (AIVA!!!) es el mayor de los números enteros menores o iguales a 4'7. Será el 4, porque el 5 es superior. Por eso el 0'7 tiene de imagen un 4. Y así con todos, ¿de acuerdo? X más 4. ¿Para hacer E(2X)? Sería exactamente igual. La única diferencia es que, aquí, en lugar de poner x+4, pondría 2X, ahora lo hago. Y, antes de que termine y borre la pizarra y me pongo a grabar otro vídeo, relativo con todos éstos, deciros que también podríamos haber hecho una cosa: si es X+4, lo único que hay que hacer es desplazar hacia la izquierda la función. ¿Cuántas unidades? 4. Si es X+4, desplazo hacia la izquierda 4 unidades la función. Si es X-4 desplazo hacia la derecha 4 unidades la función. Fijaros que esta función es igual que ésta, pero si la desplazo hacia allá, ¿de acuerdo? Se utiliza muchísimo para, por ejemplo, representar funciones de este tipo, 1 partido entre X-3 1 partido entre X-3, más 4. Este 4 lo que hace es desplazar la función hacia arriba, pero el X-3 desplaza la función hacia la derecha; X+3 lo desplazaría hacia la izquierda. Lo expliqué en el vídeo de función racional, en 2º ó 3º de la E.S.O.... Espero que lo hayáis entendido así y si lo quereis dibujar de la otra manera, fenomenal!!. Pero lo ideal es que incluso lo comprobéis, porque, un redondelito, un puntito mal puesto, os destroza completamente el ejercicio. Borro la pizarra y hago estos dos en un vídeo. Y éste, que es la función MANTISA, lo grabo en otro, ¿vale? Como siempre, practicad y practicad, y os prometo que aprobaréis. #nosvemosenclase. Hasta luego. CIAO!
Función techo
La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:
Definida:
O de otra forma:
Se conoce también como función mínimo entero[1] o como función entero menor (que es mayor o igual que x)[2]. Precaución: Algunas publicaciones le llaman "función entero mayor" debido a que devuelve el entero mayor o igual que x.[3]
Propiedades
- Para cualquier número real se cumple que .
- El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y solo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.
- La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
- La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:
Estas funciones no son algebraicas ni trascendentes, por lo que son funciones no elementales[4]
Ejemplos
Para un número real no entero:
Para un número entero:
Función piso/suelo
La función suelo se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x cuyo conjunto de partida (dominio) y conjunto de llegada (rango) son:
y se define como:
También se puede expresar como:
Se conoce también como función máximo entero[5] o como función entero mayor (que es menor o igual que x)[6]. Precaución: Algunas publicaciones le llaman "función entero menor" debido a que devuelve el entero menor o igual que x.[3]
Propiedades
El número real x al que se aplica la función suelo es un número entero si y solo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.
Podemos deducir que si m y n son números enteros estrictamente positivos coprimos entonces (fórmula de Sylvester):
- .
La fórmula anterior puede ser generalizada para todo m y n enteros estrictamente positivos:[7]
- .
Ejemplos
Para un número real no entero:
Para un número entero:
Función truncamiento/parte entera
La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso[8] y techo,[9] de la siguiente manera:
definida de esta forma:
Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.
Función redondeo
La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor más próximo a x.
si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por exceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.
Se puede comprobar la siguiente igualdad:
Series de expansión
La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función , llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica,[10] y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:
- si x no es un número entero.
Usando la expresión podemos saber la expansión de la función :
Teniendo en cuenta que: , entonces la expansión de serie de la función techo sería:
Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión ; entonces quedaría:
Véase también
- Función continua
- Representación de números con signo
- Función definida a trozos
- Función escalón de Heaviside
- Función rectangular
- Función escalonada
- Función identidad
- Función signo
- Valor absoluto
- Función rampa
- Parte fraccionaria
- Mantisa
Notas y referencias
- ↑ https://books.google.com.ec/books?id=_SUkc7rVAdUC&pg=PA24
- ↑ https://www.geogebra.org/m/f3ejt4d7
- ↑ a b https://silo.tips/download/relaciones-y-funciones-2
- ↑ N. A. Piskunov: Cálculo difrencial e integral.
- ↑ Niven- Zuckerman: Introducción a la teoría de números, ISBN 968-18-0669-7, p. 87.
- ↑ Stewart, James. Cálculo (7ma. edición). p. 105.
- ↑ J.E.blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan, tesis de maestría, p. 17.
- ↑ «C++ reference of
floor
function». Consultado el 24 de abril de 2011. - ↑ «C++ reference of
ceil
function». Consultado el 24 de abril de 2011. - ↑ Venero: Análisis matemático, Lima (1995)
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Floor Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Ceiling Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic.