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Función escalón de Heaviside

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario o de causalidad a la derecha del cero, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo, incluido el cero:[1][2][3]

que se define de esta forma:

Aplicaciones

Esta función tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda encendida indefinidamente.

Definiciones alternativas

función escalón considerando  H ( 0 ) = 1 / 2 {\displaystyle H(0)=1/2} .
función escalón considerando .

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el valor , que es convencional. La mayoría de autores lo definen como , otros . Algunos que lo definen como , ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para , de la siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

  • Definición como límite de otras funciones.

Aproximaciones analíticas

Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la función escalón, se puede usar la función logística

donde una más grande corresponde a una transición más afilada en . Si tomamos , la igualdad se establece en el límite:

Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función escalón.[4]​ Entre las posibilidades están:

Estos límites se mantienen para todo punto[5]​ así como en el sentido de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para todo punto.[6]

en general, cualquier función de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad común: distribución logística, de Cauchy y normal, respectivamente.

Propiedades

  • Cambio de signo del argumento.

Escalón de tiempo discreto

Se trata de la sucesión entera u : Z → {0, 1} definida por[7]

La función escalón se emplea con frecuencia en procesamiento de señales, para describir el comportamiento de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La respuesta al escalón sn se define como la salida de un sistema excitado por un escalón . Puede demostrarse que la respuesta impulsiva del sistema LTI se calcula a partir de la respuesta al escalón, denotada por , de la siguiente manera[7]

Véase también

Función definida a trozos
Función rectangular
Función escalonada
Función identidad
Función signo
Valor absoluto
Función rampa
Funciones de parte entera
Parte fraccionaria
Mantisa

Referencias

  1. Spiegel y Abellanas, 1988, p. 182
  2. James, Glyn James; Burley, David (2002). «2.5». Matemáticas Avanzadas para Ingeniería (2 edición). PRENTICE HALL MEXICO. p. 141 |página= y |páginas= redundantes (ayuda). ISBN 9789702602095. 
  3. Sánchez Ruiz, Luis Manuel; Legua Fernández, Matilde Pilar; Moraño Fernández, José Antonio (9 de 2006). Matemáticas Con Derive (2 edición). Editorial Universitat Politècnica de València. p. 59 |página= y |páginas= redundantes (ayuda). ISBN 978-84-9705-768-4. 
  4. Weisstein, Eric W. «Heaviside Step Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  5. Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise
  6. Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function#Algebraic_representation
  7. a b Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S. Señales y sistemas. Prentice Hall. ISBN 9688803812. 

Bibliografía

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 25 feb 2021 a las 01:30.
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