Espacio conexo por caminos

En topología un espacio topológico se dice que es conexo por caminos si dos elementos cualesquiera pueden conectarse mediante una curva.

Definición

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espacio topológico. Una curva en ${\displaystyle X}$ es una aplicación continua ${\displaystyle f:[0,1]\longrightarrow X}$. (En realidad, puede ser cualquier intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, pero siempre se puede normalizar y llevar a ${\displaystyle [0,1]}$).

Se dice que ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ es un espacio conexo por caminos si: ${\displaystyle \forall x,y\in X,\exists f:[0,1]\longrightarrow X}$ continua (i.e., una curva) tal que ${\displaystyle f(0)=x,\,f(1)=y}$.

Es decir, en términos intuitivos, si cada par de puntos pueden ser unidos mediante una curva, o, dicho de otro modo, "conectados por un camino" (y de ahí el nombre).

Para ${\displaystyle C\subset X}$, la definición de conexidad por caminos es la misma que antes, sólo que ahora pidiendo que cada par de puntos en ${\displaystyle C}$ puedan ser conectados por una curva continua contenida en ${\displaystyle C}$. Esta definición es equivalente a pedir que ${\displaystyle C}$, dotado de la topología traza, sea un espacio conexo por caminos.

Conexión y conexión por caminos

Se cumple que todo espacio conexo por caminos es también conexo, sin embargo, el recíproco no es cierto, es decir, existen espacios conexos que no son conexos por caminos. Un ejemplo es la curva seno del topólogo, que es la adherencia del gráfico de la función ${\displaystyle \sin(1/x)}$, es decir, el conjunto ${\displaystyle G=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in (0,1),y=\sin(1/x)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=0,y\in [-1,1]\}}$

Como el gráfico de la función por sí solo es conexo, su adherencia también (esa propiedad siempre se cumple para conjuntos conexos). Sin embargo, nunca podremos conectar por un camino continuo un punto del grafo con un punto del trozo del eje y tomado.

Conexión por caminos y arcoconexión

• Todo espacio topológico arcoconexo es conexo por caminos, aunque no es cierto que todo espacio conexo por caminos sea arcoconexo.
• Si un espacio es conexo por caminos y es un espacio de Hausdorff, entonces también será arcoconexo.

Temas relacionados

• Seno del topólogo
• Peine del topólogo, otro ejemplo que ilustra que un espacio conexo no tiene por qué ser conexo por caminos.

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