Entero de Eisenstein

En matemáticas, en especial en la teoría de números, un entero de Eisenstein, llamado así en honor de Ferdinand Eisenstein, es un número complejo de la forma

${\displaystyle z=a+b\,\omega }$

donde a y b son números enteros y

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

es una de las raíces cúbicas imaginarias de 1 .

Propiedades

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el cuerpo de los números algebraicos Q(√−3). También forman un dominio euclidiano.

Para ver que los enteros de Eisenstein son enteros algebraicos nótese que cada z = a + bω es un cero del polinomio cuadrático de coeficiente principal = 1

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).}$

En particular, ω satisface la ecuación algebraica de coeficiente principal = 1; sus demás coeficientes son enteros racionales.

${\displaystyle z^{2}+z+1=0.}$

Si x e y son enteros de Eisenstein, diremos que x divide a y si existe algún entero de Eisenstein z tal que

y = z x.

Esto extiende la noción de divisibilidad para los enteros ordinarios, o sea los elementos del conjunto ℤ. Por lo tanto, podremos también extender la noción de primalidad; un entero de Eisenstein x será un primo de Eisenstein si sus únicos divisores son

${\displaystyle \pm x,\pm \omega x,\pm \omega ^{2}x,\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}}$

—excepto porque no consideraremos ±1, ±ω o ±ω² en sí mismos como primos de Eisenstein — son unidades en el anillo de los enteros de Eisenstein, y cada uno tiene norma = 1.

Relación con los primos de forma x² − xy + y²

Puede demostrarse que un primo de la forma ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$ puede ser factorizado en ${\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)}$ y por lo tanto no es primo en el anillo de los enteros de Eisenstein. Nótese también que un número de la forma x² − xy + y² es primo si y solo si x + ωy es un primo de Eisenstein.

Norma de un entero de Eisenstein

El anillo de los enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N es

${\displaystyle N(a+\omega b)=a^{2}-ab+b^{2}.}$ (1)

Esto puede deducirse considerando los enteros de Eisenstein como números complejos: puesto que

${\displaystyle N(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$

y puesto que

${\displaystyle a+\omega b=\left(a-{1 \over 2}b\right)+i{{\sqrt {3}} \over 2}b}$

se deduce que

${\displaystyle N(a+\omega b)=\left(a-{1 \over 2}b\right)^{2}+{3 \over 4}b^{2}}$

${\displaystyle =a^{2}-ab+{1 \over 4}b^{2}+{3 \over 4}b^{2}=a^{2}-ab+b^{2}}$.

Otro procedimiento

La norma de un entero de Eisenstein se puede definir como:

${\displaystyle N(c+\omega d)=(c+\omega d)\times (c+\omega ^{2}d)}$

pues se tiene ${\displaystyle N(c+\omega d)=c^{2}+cd\omega +cd\omega ^{2}+\omega ^{3}d^{2}}$

agrupando, teniendo en cuenta el cubo de omega, ${\displaystyle N(c+\omega d)=c^{2}+cd(\omega +\omega ^{2})+1\times d^{2}}$

como ${\displaystyle \omega +\omega ^{2}=-1}$ resulta ${\displaystyle N(c+\omega d)=c^{2}-cd+d^{2}}$, lo mismo que (1).

Dominio euclidiano

Dados dos enteros de Essenstein c y d ≠ 0, existen dos enteros de Essenstein q y r tal que

${\displaystyle c=dq+r,\ N(d)>N(r)}$ aunque q y r no sean únicos. Se sigue cumpliendo el algoritmo de Euclides.

Véase también

• Primo de Eisenstein
• Entero gaussiano
• Entero algebraico

Enlaces externos

• La versión inicial de este artículo es una adaptación de Eisenstein integer de Wikipedia en inglés bajo licencia GFDL y Creative Commons.
• Weisstein, Eric W. «Eisenstein Integer». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Esta página se editó por última vez el 13 nov 2023 a las 13:55.