To install click the Add extension button. That's it.

The source code for the WIKI 2 extension is being checked by specialists of the Mozilla Foundation, Google, and Apple. You could also do it yourself at any point in time.

4,5
Kelly Slayton
Congratulations on this excellent venture… what a great idea!
Alexander Grigorievskiy
I use WIKI 2 every day and almost forgot how the original Wikipedia looks like.
Live Statistics
Spanish Articles
Improved in 24 Hours
Added in 24 Hours
What we do. Every page goes through several hundred of perfecting techniques; in live mode. Quite the same Wikipedia. Just better.
.
Leo
Newton
Brights
Milds

Dual (teoría de categorías)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En teoría de categorías dualidad es una correspondencia entre propiedades de una categoría C y las llamadas propiedades duales de la categoría opuesta Cop. Dada una proposición con respecto a la categoría C al intercambiar el dominio y el codominio de cada morfismo e intercambiando el orden de la composición de dos morfismos obtenemos una proposición dual considerando la categoría opuesta Cop. La dualidad como tal es la afirmación de que la verdad es un invariante bajo esta operación en las proposiciones. En otras palabras si una proposición es verdadera en C, entonces su proposición dual es cierta en Cop, y si una proposición es falsa en C, entonces su proposición dual es falsa en Cop.

Dada una categoría concreta C es común el caso de que la categoría opuesta por sí misma es abstracta, Cop no necesariamente es una categoría que surja de la práctica matemática, en este caso otra categoría D se dice que está en dualidad con C si D y Cop son categorías equivalentes.

En este caso cuando una categoría C y la categoría 'Cop son equivalentes entonces se dice que está categoría es auto dual.

Definición formal

Se define el lenguaje elemental de la teoría de categorías el lenguaje de primer orden de dos tipos, con los objetos y morfismos como distintos tipos de objetos junto con las relaciones de un objeto siendo el dominio y el codominio de un morfismo y un símbolo para la composición de dos morfismos.

Sea σ una proposición en este lenguaje. Formamos la proposición dual σop como sigue:

  1. Intercambiando cada ocurrencia de "dominio" por "codomonio".
  2. Intercambiando el orden en que se componen los morfismos, esto es remplazando cada ocurrencia de por

Informalmente, estas condiciones nos dicen que el dual de una proposición se obtiene al invertir flechas y composiciones.

Dualidad es la observación de que σ es verdadero para alguna categoría C si y solo si σop es verdadero para Cop.

Ejemplos

  • Un morfismo es un monomorfismo si entonces . Realizando la operación dual obtenemos la proposición si entonces para un morfismo. Esto es precisamente la definición de que f sea un epimorfismo. En resumen la propiedad de ser monomorfismo es dual a la propiedad de ser epimorfismo.

Aplicando la dualidad, esto significa que un morfismo en una categoría C es un monomorfismo si y solo si el morfismo opuesto en la categoría Cop es un epimorfismo.

  • Otro ejemplo surge al invertir la dirección del símbolo de desigualdad en un conjunto parcialmente ordenado. Así que si X es un conjunto y ≤ es un orden parcial podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤new como
xnew y si y solo si yx.

Este ejemplo en órdenes es un caso especial, como los órdenes parciales pueden ser considerados como una categoría en el cual Hom(A,B) tiene a lo más un elemento. En aplicaciones a la lógica esto parece ser una descripción muy general de negación (esto es las pruebas van en dirección opuesta). Por ejemplo si tomamos la opuesta de una retícula, obtendremos que el ínfimo y supremo tienen sus papeles intercambiados. Esto es una generalización de las leyes de De Morgan o de la dualidad aplicada a retículas.

  • Límites y colimites son nociones duales.
  • Productos fibrados y Coproductos fibrados son nociones duales.

Véase también

Referencias

Esta página se editó por última vez el 6 ene 2020 a las 19:48.
Basis of this page is in Wikipedia. Text is available under the CC BY-SA 3.0 Unported License. Non-text media are available under their specified licenses. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 is an independent company and has no affiliation with Wikimedia Foundation.