Divisor de cero

En álgebra abstracta, un elemento no nulo a de un anillo A es un divisor de cero por la izquierda si existe un elemento no nulo b tal que ab = 0. Los divisores de cero por la derecha se definen análogamente. Un elemento que es tanto un divisor de cero por la izquierda como por la derecha recibe el nombre de divisor de cero. Si el producto es conmutativo, entonces no hace falta distinguir entre divisores de cero por la izquierda y por la derecha. Un elemento no nulo que no sea un divisor de cero ni por la izquierda ni por la derecha recibe el nombre de regular.

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Hola a todos y a todas continuamos con la aritmética básica en este segundo tutorial sobre la divisibilidad hablaremos de los divisores primero realizaremos una definición de lo que es un divisor y mediante algún ejemplo realizado en la pizarra aprenderemos a diferenciar los números que son divisores y los números que no son divisores de otro número también se explicará en cada una de las propiedades de los divisores en cada una de las propiedades realizaremos algunos ejemplos en la pizarra para que podáis comprender mucho mejor los conceptos básicos de las propiedades de los divisores empezamos decimos que un número a es divisor de un número de cuando al dividir de entrega obtenemos un número entero que podemos llamar número C si el resultado de esa división no es un número entero decimos que el número A no puede ser un divisor del número de por tanto os tiene que quedar muy claro que sólo consideramos que un número es divisor de otro número cuando la división da un resultado exacto o un número entero vamos a ver en la pizarra algunos ejemplos de números que son divisores de otros números y algunos ejemplos de números que no son divisores de otros números fíjate en la imagen de la pantalla en la parte superior izquierda estoy indicando con el puntero láser que estoy moviendo ahora mismo tenemos la división del número 15 entre el número 3 del número 15 es el dividendo y el número 3 es el divisor el resultado de dividir el número 15 entre el número 3 como todos sabéis da un número 5 está resultado es un número entero por tanto podemos decir que el número 3 es un divisor del número si continuamos y observamos la siguiente división un poco más abajo donde se indicando con el puntero láser tenemos la división del número 15 entre el número 4 se realiza y se cálculo de esta división mediante una calculadora podéis obtener el número 3.75 todos aquellos números que presenta una coma decimal decimos que no son números enteros por tanto el número 4 no es divisor del número 15 en cambio aunque el número 4 no sea divisor del número 15 es si lo es del número 20 ya que si dividimos el número 20 entre el número 4 obtenemos de nuevo el número 5 como número entero por tanto el 4 será divisor del número 20 pero no podrá ser divisor del número 15 continuamos arriba a la derecha como tradición la división del número 15 entre el número 5 15/5 da como resultado el número 3 otra vez tenemos un número entero por tanto el número 5 sabemos que es divisor del número 15 y si continuamos con la ultimada de las divisiones mostradas en la pantalla que es 20/5 obtendremos como resultado el número 4 por tanto podemos decir que el número 5 es un divisor del número 20 para pues de las divisiones realizadas en estos ejemplos se pueden deducir que el número 15 tiene los divisores 3 y 5 y el número 20 tiene los divisores 4:05 nosotros hemos realizado solamente 2 divisiones del número 20 de O esto no significa que el número 20 tenga solamente 2 divisores ya que si realizamos por ejemplo la división entre el número 20 y el número 10 obtendremos como resultado el número 2 por tanto el número 2 también será un divisor del número 20 y el número 10 también será un divisor del número de solamente quería mostrarnos estas 2 divisiones del número 20 para que podáis observar que si la división de un número por otro número nos da un resultado exacto tanto el divisor como resultado serán divisores del dividendo de acuerdo continuamos con más cuestiones sobre los divisores todos los números divisores tienen una serie de propiedades 5 independientemente del número de qué se trata de saber a continuación todas y cada una de las propiedades con una serie de ejemplos para qué lo podáis comprender un poco mejor la primera propiedad nos dice cualquier número que sea diferente de 0 es un divisor de sí mismo ya que como todos sabéis cualquier número dividido entre sí mismo da como resultado la unidad o el número 1 si esto lo generalizamos expresándolo con letras podemos decir que ha entre es igual a 1 vamos a ver la segunda propiedad el número 1 es un divisor de todos los números ya que si dividimos cualquier número entre el número 1 obtendremos siempre como resultado el dividendo si esto lo generalizamos expresándolo con letras podemos decir que un número cualquiera a dividido entre el número 1 dará como resultado el dividendo que en este caso es el número a continuamos con la tercera de las propiedades cualquier número de distinto de 0 divisor de otro número que podemos llamar a siempre será menor o igual que a es decir un divisor siempre será menor o igual al dividendo por tanto los divisores de un número cualquiera simple serán un número finito de términos o de factores para cometer un poco mejor esta propiedad os voy a mostrar a continuación una serie de tablas donde se muestran los resultados de dividir el número 50 por todos los números naturales desde el número 1 hasta el número 60 la primera tabla muestra los resultados de dividir el número 50 entre los números 1 al número 10 fíjate que el resultado de la división se muestra en la tercera de las columnas donde aparecen algunos resultados destacados en color azul vale 23 la primera fila por ejemplo muestra la división del número 50 entre número 1 la segunda la división del número 50 entre el número 2 y así sucesivamente hasta el número 10 solamente podemos destacar en color azul 4 resultados esos 4 resultados corresponden al y dividir 50 entre número 1 el número 2 el número 5 y el número y por tanto solamente los números 12 5:10 serán divisores del número 50 nos los restantes números 6789 3 y 4 dan como resultado de su división con número 50 un número que es un número decimal por tanto no podemos decir que son divisores del número 50 vamos a ver qué ocurre con los siguientes 10 números los divisores del 11 al 20 fíjate en la columna tercera de la segunda tabla en la columna tercera la segunda tabla no se obtiene ningún resultado entero o exacto de la división de 50 con cada 1 de los divisores son todos resultados con valor de decimales por tanto no podemos decir que exista algún divisor de el número 50 entre los números 11 y de continuamos con la tercera tabla con los divisores del número 21 al número 30 únicamente obtendremos un número que es divisor del número 50 concretamente el número 25 ya que la el resultado de dividir 50/25 es el número 2 que es un número entre vamos a ver a continuación que ocurre con los números del 31 al número 40 lo mismo que la segunda tabla en esta cuarta tabla ninguno de los resultados es un número entero fíjate bien que todos los resultados de las diversas divisiones muestran resultados con decimal vamos a ver ahora los últimos 20 números primero los 10 números del 41 al 50 únicamente la última de las filas que es la división de 50 entre 50 da como resultado un número exacto por tanto entre 41 y 50 solamente tendremos como divisor el número 50 que era una de las propiedades de los divisores recordad ese concepto que cualquier número es divisor de sí mismo y a continuación vemos números que son los divisores mayores del número 50 y tal y como habíamos indicado en otra de las propiedades ningún divisor podrá ser mayor que el dividendo por tanto ningún resultado a partir del número 51 dará como resultado un número entero por tanto ningún número mayor de 51 será un divisor del número 50 continuamos con la puerta propiedad de los divisores si un número a es divisor de 2 números diferentes por ejemplo los números de índice entonces el número a también será divisor de la suma de los 2 números de lo mismo ocurre con la quinta propiedad de los divisores pero con la operación de la resta la quinta propiedad nos dice que si un número a es divisor de 2 números diferentes por ejemplo los números B y C entonces el número a también será divisor de la resta de los números de ICT vamos a ver esto con una serie de ejemplos en nuestra pizarra marginante que tenemos un número a = 2 un número de = 4 y un número se = 8 12 sabemos que de entre a es igual a 4/2 si vivimos esto nos dará como resultado un número 2 por tanto será divisor debe es decir el número 2 será divisor de 4 si continuamos y hacemos se partido a es decir dividimos 8/2 obtenemos como resultado 4 por tanto el número 2 será divisor del número 8 si sumamos B y C que será 4 + 8 y lo dividimos por el divisor a que es el número 2 es lo mismo que dividir 12/2 por tanto el resultado será 6 así que nos queda demostrado que ha será el divisor de la suma de los números de ICT en este caso son los números 4 + 8 lo mismo ocurrirá con la resta vamos a ver lo si el lugar de realizar la suma dB master realizamos la resta de C menos de hilo dividimos por a que es el divisor de ambos números obtenemos como resultado 8 - 4 partido 28 - 4 será 4 partido 2 obtendremos como resultado un número entero 2 por tanto el divisor a será el divisor de la resta de los 2 números de ICT continuamos con las esta propiedad si un número a es divisor de otro número de también el número será divisor de los múltiplos debe vamos a ver esto con varios ejemplos en la pizarra sabemos que ha = 5 es un múltiplo del número B = 20 ya que la división de B entre a que estén 35 da un número entero 4 por tanto un múltiplo de B por ejemplo 2 por B = 40 su división tendrá que ser un número entero si dividimos 2 por B qué se = 40 entre el divisor dB que es el número 5 obtendremos un número entero 8 queda demostrado así que un divisor de un número cualquiera también es divisor de cualquier múltiplo de ese número explicamos a continuación la séptima y última de las propiedades de los divisores si un número de es divisor de un número a y a su vez el número C es divisor del número de entonces podemos decir que el número C también es divisor del número A como siempre tenemos una serie de ejemplos en la pizarra para comprender lo todo un poco mejor la propiedad nos dice que si B es divisor de a y C es divisor debe entonces se también será divisor de a para realizar esta comprobación utilizaremos 3 números diferentes el número que será igual a 100 el número de que será igual a 50 y el número C que será igual a 5 y para ello tenemos que realizar 3 divisiones diferentes a entre de y comprobar que esta división da un resultado exacto concretamente será 100/50 y 100/50 obtenemos el número 2 por tanto queda confirmado que de es divisor de a a continuación comprobaremos que de entre C nos da un número entero por tanto de en 13 será igual que 50/5 y 50/5 obtendremos como resultado de esta división el número 10 así pues nuestra proveerá tendrá que confirmar que ha partido C tiene que dar un número exacto ya que te es un divisor del número A vamos a comprobarlo tenemos a = 100 partido C = 5 cuyo resultado nos da el número 20 nuevos aquí hemos finalizado los divisores y sus propiedades fundamentales en el siguiente tutorial continuaremos explicando los principales criterios de divisibilidad de los números nos vemos pronto hasta luego

Definición

Sean a≠ 0 y b ≠ 0 dos elementos distintos de un anillo R tales que ab = 0. a y b se denominan divisores de cero, si a es divisor a izquierda y b es divisor a derecha.^[1]

Ejemplos

El anillo Z de los enteros no tiene divisores de cero, pero en el anillo Z × Z, o Z² (donde la suma y el producto se realizan componente a componente), se tiene que (0,1) × (1,0) = (0,0), así que tanto (0,1) como (1,0) son divisores de cero.

En el anillo cociente Z/6Z, la clase del 4 es un divisor de cero, ya que 3×4 es congruente con 0 módulo 6. De manera general, los divisores de cero existen en el anillo Z/nZ si y solo si n es número compuesto y corresponden a aquellos números que no son primos relativos con n.^[2]

Un ejemplo de divisor de cero por la izquierda en el anillo de matrices de 2×2 es la siguiente matriz:

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}

porque, por ejemplo,

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

, y la otra matriz es divisor de cero por la derecha

Sean f y g dos funciones reales, ninguna es la función cero, de variable real definidas por

f(x)=0,x\leq 0

f(x)=x,x>0

g(x)=x,x\leq 0

g(x)=0,x>0

El producto

f\cdot g=0

para todo x ,número real.^[3]

Contraejemplos

Cuando p es un número primo, el anillo Z_p no tiene divisores de cero. Como todo elemento del anillo es una unidad, el anillo es un cuerpo.

Propiedades

Los divisores de cero por la izquierda o por la derecha nunca pueden ser unidades, porque, si a es invertible y ab = 0, entonces 0 = a^-10 = a^-1ab = b.

Todo elemento idempotente no nulo a≠1 es divisor de cero, ya que a² = a implica que a(a - 1) = (a - 1)a = 0. Los elementos nilpotentes no nulos del anillo también son divisores de cero triviales.

En el anillo de las matrices de n×n sobre algún campo, los divisores de cero por la izquierda y por la derecha coinciden; son precisamente las matrices singulares no nulas. En el anillo de las matrices de n×n sobre un dominio de integridad, los divisores de cero son precisamente las matrices no nulas de determinante cero.

Si a es un divisor de cero por la izquierda y x es un elemento arbitrario del anillo, entonces xa es cero o bien un divisor de cero. El siguiente ejemplo muestra que no se puede decir lo mismo de ax. Considérese el conjunto de matrices de ∞×∞ sobre el anillo de los enteros, donde cada fila y cada columna contiene un número finito de entradas no nulas. Éste es un anillo con el producto usual de matrices. La matriz

A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\\&&\vdots &&&\ddots \end{pmatrix}}

es un divisor de cero por la izquierda y B = A^T es, por tanto, un divisor de cero por la derecha. Pero AB es la matriz identidad y, por tanto, no puede ser un divisor de cero. En particular, concluimos que A no puede ser un divisor de cero por la derecha.

Un anillo conmutativo con 0≠1 y sin divisores de cero recibe el nombre de dominio de integridad o dominio integral.

Las leyes de la cancelación valen en un anillo R si sólo si R no tiene divisores de 0. En este caso la ecuación ax = b tiene una única solución.^[4]

Véase también

Divisor

Referencias

↑ Róbinson Castro Puche: Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica ECOE Ediciones ISBN 978-958-648-850-1
↑ Castro Puche. Op. cit. pág 153
↑ Basta aplicar el producto de funciones, en sus respectivos subdominios
↑ Fraleigh: álgebra abstracta ISBN 0-201-64052-X

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Zero Divisor». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q828111

Esta página se editó por última vez el 23 mar 2022 a las 11:08.

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