Coordenadas ortogonales

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

Definición

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, un conjunto abierto ${\displaystyle O}$ del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto ${\displaystyle m\in O\subset {\mathcal {M}}}$, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

${\displaystyle \phi :O\subset {\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{d}\qquad p\in O\land \phi (p)=(x^{1},x^{2},...,x^{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas C_i(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

${\displaystyle \phi (C_{i}(t))=(x_{(0)}^{1},...,x^{i}(t),...,x_{(0)}^{n})\qquad \mathbf {v} _{i}=C_{i}'(t)={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x_i son ortogonales, es decir, si:

${\displaystyle g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})=0\ (i\neq j),\qquad g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=h_{i}^{2}(x^{1},x^{2},...,x^{d})}$

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Propiedades

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{bmatrix}}}$

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilmente en términos de estas componentes del tensor métrico.

• El gradiente viene dado por:

${\displaystyle \mathrm {grad} \ \Phi =\nabla \Phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

• La divergencia viene dada por:

${\displaystyle {\mbox{div}}\ \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(h_{2}h_{3}A_{1})+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(h_{3}h_{1}A_{2})+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(h_{1}h_{2}A_{3})\right]}$

• El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\ \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\\partial _{x^{1}}&\partial _{x^{2}}&\partial _{x^{3}}\\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}\end{vmatrix}}}$

• El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

${\displaystyle \Delta \Phi =(\nabla \cdot \nabla )\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\right)\right]}$

Ejemplos en el espacio euclídeo

En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
• Coordenadas esféricas
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas cilíndricas elípticas
• Coordenadas cilíndricas parabólicas
• Coordenadas paraboidales
• Coordenadas esferoidales alargadas
• Coordenadas esferoidales achatadas
• Coordenadas bipolares
• Coordenadas toridales

Ejemplos en variedades diferenciales

La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.

En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.^{[cita requerida]}

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