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Función compuesta

De Wikipedia, la enciclopedia libre

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.
g  f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g  f)(a)=@.

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta gf: XZ expresa que (gf)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. Se lee "f compuesta con g", "f en g", "f entonces g", "g de f" o "g círculo f".


Definición

De manera formal, dadas dos funciones:

y

donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición de f con g (nótese que las funciones se nombran en el orden de aplicación a la variable, no en el orden sucesivo de representación):

A todos los elementos de X se le asocia una elemento de Z según: .

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades

  • La composición de funciones es asociativa, es decir:

  • La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
  • Con las tres propiedades anteriores: asociativa, no conmutativa y elemento neutro, las funciones reales de variable real constituyen un monoide para la operación interna de composición de funciones.
  • Además, la inversa de la composición de dos funciones es:

Ejemplo

Sean las funciones:

La función compuesta por ende x de g y de f que expresamos:

La interpretación de (fg) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

y después aplicamos f a z para obtener

Función bien definida

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

  1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (gf) cumple la condición de existencia.
  2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g(f(x)).

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 28 abr 2022 a las 07:46.
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