Característica (matemática)

En álgebra abstracta, la característica de un anillo ${\displaystyle R}$ es definida como el entero positivo más pequeño ${\displaystyle n}$ tal que ${\displaystyle 1_{R}+{\overset {n{\text{ sumandos}}}{\ldots }}+1_{R}=0}$. Si no existe tal ${\displaystyle n}$, se dice que la característica de ${\displaystyle R}$ es 0.

De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo ${\displaystyle R}$ como el único número natural ${\displaystyle n}$ tal que ${\displaystyle R}$ contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

El caso de anillos

Si ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle S}$ son anillos y existe un homomorfismo de anillos

${\displaystyle R\rightarrow S}$,

entonces la característica de ${\displaystyle S}$ divide la característica de ${\displaystyle R}$. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial ${\displaystyle R}$ no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 o primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.

El anillo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ de los enteros módulo ${\displaystyle n}$ tiene característica ${\displaystyle n}$. Si ${\displaystyle R}$ es un subanillo de ${\displaystyle S}$, entonces ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle S}$ tienen la misma característica. Por ejemplo, si ${\displaystyle q(X)}$ es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ donde ${\displaystyle p}$ es primo, entonces el anillo factor ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[X]/(q(X))}$ es un cuerpo de característica ${\displaystyle p}$. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.

Si un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ tiene característica prima ${\displaystyle p}$, entonces se tiene que ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ para todo elemento ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle R}$.

La aplicación

${\displaystyle f(x)=x^{p}}$

define un homomorfismo de anillos

${\displaystyle R\rightarrow S}$,

Este es llamado el endomorfismo de Frobenius. Si ${\displaystyle R}$ es un dominio de integridad este es inyectivo.

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