To install click the Add extension button. That's it.

The source code for the WIKI 2 extension is being checked by specialists of the Mozilla Foundation, Google, and Apple. You could also do it yourself at any point in time.

4,5
Kelly Slayton
Congratulations on this excellent venture… what a great idea!
Alexander Grigorievskiy
I use WIKI 2 every day and almost forgot how the original Wikipedia looks like.
Live Statistics
Spanish Articles
Improved in 24 Hours
Added in 24 Hours
What we do. Every page goes through several hundred of perfecting techniques; in live mode. Quite the same Wikipedia. Just better.
.
Leo
Newton
Brights
Milds

Atlas (matemáticas)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Un atlas es un conjunto de cartas de un espacio, de forma que a cada «región» de dicho espacio le corresponden unas coordenadas. De manera más exacta, en un espacio topológico, una carta cubre un entorno del mismo y asigna coordenadas a los puntos dentro de dicho entorno. Un atlas es un conjunto de cartas que, además de cubrir el espacio por completo, en caso de superposición entre dos cartas, las coordenadas asignadas por una y otra están relacionadas simplemente por una función vectorial con «buenas propiedades» (es un homeomorfismo, o incluso un difeomorfismo).

Los atlas son la herramienta que permite dar estructura diferenciable a los espacios topológicos, siendo el sustrato para las nociones de la geometría diferencial de variedades.

Definición

Dado un espacio topológico , una carta es un homeomorfismo que provee de coordenadas a los puntos de un entorno abierto del mismo:

Una carta (o entorno coordenado) es un par (U, φ) donde U es un abierto de X y φ : URn es un homeomorfismo

Un atlas es un conjunto de cartas que cubre la variedad al completo, y de tal manera que sean compatibles entre sí: si dos cartas dan coordenadas distintas para una región de X, entonces la función «cambio de coordenadas» ha de ser biyectiva y continua en ambos sentidos.

Un atlas es una familia de cartas { (Ui, φi) }iI tal que:

  • Cubren el espacio por completo, ∪i Ui = X
  • Si el dominio de dos cartas se superpone, ;Uij = UiUj ≠ ∅ (con ij), entonces ambas cartas son compatibles entre sí: la función φij = φiφj−1 : φj(Uij) → φi(Uij) es un homeomorfismo entre abiertos de Rn.

Diferenciabilidad

La definición anterior es estrictamente para un atlas de clase C0. Exigiendo que las funciones de transición φij sean difeomorfismos de clase Ck, obtendríamos un atlas de clase Ck (donde k es un entero positivo, ∞, o incluso ω para atlas analíticos).

Compatibilidad. Estructura diferenciable.

La condición de compatibilidad entre cartas nos permite definir si dos atlas de clase Ck son a su vez compatibles: lo son si su unión conjuntista es un atlas a su vez, esto es, si pueden «juntarse» en un solo atlas.

Dos atlas compatibles pero distintos dan coordenadas al espacio X de maneras esencialmente equivalentes. Para definir la estructura de variedad (ya sea topológica o diferenciable) sin ambigüedades, se recurre a una clase de equivalencia de atlas compatibles entre sí. Otra manera es usar un atlas maximal, que contiene a cualquier atlas compatible con él. A estos atlas maximales se les denomina también estructuras diferenciables (de clase Ck).

Coordenadas curvilíneas

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana , un conjunto abierto del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto , una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

Coordenadas Curvilíneas, afines y cartesianas en un espacio bidimensional.
Coordenadas Curvilíneas, afines y cartesianas en un espacio bidimensional.

El cálculo diferencial en variedades permite generalizar el concepto de coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas a variedads diferenciables, es decir, espacios globalmente no euclídeos que sin embargo son localmente euclídeos. Los sistemas de coordenadas totalmente generales son difíciles y en general no tienen propiedades que los hagan interesantes. Una clase especial de estos son las coordenadas ortogonales. Un sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas xi son ortogonales, es decir, si:

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Véase también

Bibliografía

Esta página se editó por última vez el 11 dic 2019 a las 05:00.
Basis of this page is in Wikipedia. Text is available under the CC BY-SA 3.0 Unported License. Non-text media are available under their specified licenses. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 is an independent company and has no affiliation with Wikimedia Foundation.