En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio no lo sea.
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El cuerpo de cocientes de un dominio de integridad
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"Localización por un ideal primo y ejemplo" (Parte 2)
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Inverso multiplicativo
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Construcción del anillo de fracciones de un anillo
Sea un anillo conmutativo. Sea un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:
- no contiene al cero del anillo: .
- es multiplicativamente cerrado: .
Consideremos en la relación binaria
- .
Es fácil comprobar que es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente que denotaremos por . Indicaremos por o a la clase del elemento .
Las operaciones adición y producto dadas por
están bien definidas y dotan a de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo respecto de : .
La inclusión natural
Dado un elemento fijo cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por
- .
La imagen de cada denominador tiene un inverso multiplicativo en .
No obstante, si el conjunto contiene divisores de cero, p.e. el elemento siendo , tendríamos
- ,
con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.[1]
En caso contrario, si el conjunto no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo de manera natural en el anillo de fracciones , que es de hecho el menor anillo que contiene a , salvo isomorfismo, en el que cada denominador tiene inverso.
Cuando el conjunto contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de . Si es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de .
Véase también
Referencias
- ↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. p. 261.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Ring of Fractions». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Total Ring of Fractions». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.