Adimensionalización y escalamiento de las ecuaciones de Navier-Stokes

En mecánica de fluidos, la no dimensionalización de las ecuaciones de Navier-Stokes es la conversión de la ecuación de Navier-Stokes a una forma adimensional. Esta técnica puede facilitar el análisis del problema en cuestión y reducir el número de parámetros libres. El tamaño pequeño o grande de ciertos parámetros adimensionales indica la importancia de ciertos términos en las ecuaciones para el flujo estudiado. Esto puede ofrecer posibilidades de despreciar términos en ciertas zonas del flujo considerado. Además, las ecuaciones no dimensionales de Navier-Stokes pueden ser beneficiosas si se plantean situaciones físicas similares, es decir, problemas en los que los únicos cambios son los de las dimensiones básicas del sistema.

El escalamiento de la ecuación de Navier-Stokes se refiere al proceso de selección de las escalas espaciales adecuadas - para un determinado tipo de flujo - que se utilizarán en la no dimensionalización de la ecuación. Como las ecuaciones resultantes deben ser adimensionales, hay que encontrar una combinación adecuada de parámetros y constantes de las ecuaciones y características del flujo (dominio). Como resultado de esta combinación, se reduce el número de parámetros que deben analizarse y los resultados pueden obtenerse en términos de las  variables escaladas.

Necesidad de adimensionar y escalar

Además de reducir el número de parámetros, la ecuación no dimensionada ayuda a obtener una mayor comprensión del tamaño relativo de los diversos términos presentes en la ecuación.^[1]​^[2]​ Tras una adecuada selección de escalas para el proceso de no dimensionamiento, esto conduce a la identificación de los términos pequeños en la ecuación. El desprecio de los términos más pequeños frente a los más grandes permite simplificar la situación. Para el caso del flujo sin transferencia de calor, la ecuación no dimensionada de Navier-Stokes depende sólo del Número de Reynolds y por lo tanto todas las realizaciones físicas del experimento relacionado tendrán el mismo valor de variables no dimensionadas para el mismo Número de Reynolds.^[3]​

El escalamiento ayuda a comprender mejor la situación física, con la variación en las dimensiones de los parámetros involucrados en la ecuación. Esto permite realizar experimentos en prototipos de menor escala siempre que los efectos físicos que no estén incluidos en la ecuación no dimensionada no sean importantes.

Ecuación de Navier-Stokes no dimensionada

La ecuación incompresible del momento de Navier-Stokes se escribe de lasiguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .}$ ^[4]​^[5]​

donde ρ es la densidad; p es la presión; ν es la viscosidad cinemática; u es la velocidad de flujo y g es el campo de aceleración del cuerpo.

La ecuación anterior puede ser no dimensionada mediante la selección de las escalas apropiadas como se indica a continuación:

Escala	variable adimensional
Longitud L	${\displaystyle \mathbf {r} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {r} }{L}}}$ and ${\displaystyle \nabla ^{*}\ =L\nabla }$
Velocidad de flujo U	${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {u} }{U}}\,}$
Tiempo L/U	${\displaystyle t^{*}\ ={\frac {t}{L/U}}\,}$
Presión: no hay una selección natural para la escala de presión.	Donde los efectos dinámicos son dominantes, es decir, los flujos son de alta velocidad ${\displaystyle p^{*}={\frac {p}{\rho U^{2}}}}$ Donde los efectos viscosos son dominantes, es decir, los flujos de arrastre ${\displaystyle p^{*}={\frac {pL}{\mu U}}}$

Sustituyendo las escalas se obtiene la ecuación no dimensional:

donde Fr es el número de Froude y Re es el número de Reynolds

Flujos con una gran viscosidad

Para los flujos en los que las fuerzas viscosas son dominantes, es decir, son flujos lentos con gran viscosidad, se utiliza una escala de presión viscosa μU/L. En ausencia de una superficie libre, la ecuación obtenida es:

Régimen de Stokes

• Véase también: Flujo de Stokes

El escalamiento de la ecuación (1) puede hacerse en un flujo donde el término de inercia es menor que el término viscoso, es decir, cuando Re → 0; entonces los términos de inercia pueden ser despreciados, dejando la ecuación de un movimiento de arrastre

${\displaystyle Re{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u^{*}} }{\mathrm {D} t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$^[6]​

Tales flujos tienden a tener influencia de la interacción viscosa a grandes distancias de un objeto. A un bajo número de Reynolds la misma ecuación se reduce a una ecuación de difusión, llamada ecuación de Stokes:

${\displaystyle -\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .}$

Régimen de Euler

Del mismo modo, si Re → ∞ es decir, cuando las fuerzas de inercia dominan, la contribución viscosa puede ser despreciada. La ecuación no dimensionada de Euler para un flujo invisible es:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.}$^[6]​

Caso de densidad variable debido a la concentración y la temperatura

La variación de la densidad debida tanto a la concentración como a la temperatura es un campo de estudio importante en la doble convección difusiva. Si se tienen en cuenta los cambios de densidad debidos tanto a la temperatura como a la salinidad, entonces se añaden algunos términos más al componente Z del momento, como sigue:^[7]​ ^[8]​

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)}$

Donde S es la salinidad del fluido, β_T es el coeficiente de expansión térmica a presión constante y β_S es el coeficiente de expansión salina a presión y temperatura constantes.

No se dimensiona usando la escala:

${\displaystyle S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}}$ and ${\displaystyle T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}}$

se tiene

${\displaystyle {\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}}$

donde S_T, T_T representan la salinidad y la temperatura en la capa superior, S_B, T_B representan la salinidad y la temperatura en la capa inferior, Ra es el Número de Rayleigh y Pr es el Número de Prandtl. La señal de Ra_S y Ra_T puede cambiar dependiendo de si estabiliza o desestabiliza el sistema.

Referencias

Bibliografía

• Doering, C.R.; Gibbon, J.D. (1995). Applied Analysis of the Navier–Stokes Equations. Cambridge Texts in Applied Mathematics 12. Cambridge University Press. ISBN 9780521445689. (requiere registro). 
• Tritton, D.J. (1988). «Chapter 7 – Dynamic similarity». Physical fluid dynamics (2nd edición). Oxford [England]: Clarendon Press. ISBN 0198544898. 
• Mattheij, R.M.M.; Rienstra, S.W.; ten Thije Boonkkamp, J.H.M. (2005). «§7.4 – Scaling and Reduction of the Navier–Stokes Equations». Partial Differential Equations: Modeling, Analysis, Computation. SIAM. pp. 148-155. ISBN 9780898715941. 
• Graebel, William (2007). «§6.2 – The Boundary Layer Equations». Advanced Fluid Mechanics. Academic Press. pp. 171–174. ISBN 9780123708854. 
• Leal, L. Gary (2007). Advanced Transport Phenomena: Fluid Mechanics and Convective Transport Processes. Cambridge University Press. ISBN 9780521849104. 
  This book contains several examples of different non-dimensionalizations and scalings of the Navier–Stokes equations
• Krantz, William B. (2007). Scaling Analysis in Modeling Transport and Reaction Processes: A Systematic Approach to Model Building and the Art of Approximation. John Wiley & Sons. ISBN 9780471772613. 
• Zeytounian, Radyadour Kh. (2002). Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena. Fluid Mechanics and Its Applications 64. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0432-2. 
• «Non-dimensionalizing Navier–Stokes». CFD Online. Consultado el 11 de octubre de 2012. 
• T.Cebeci J.RShao,F. Kafyeke E. Laurendeau, Computational Fluid Dynamics for Engineers, Springer, 2005
• C. Pozrikidis, FLUID DYNAMICS Theory, Computation, and Numerical Simulation, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 2001

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