Convergencia absoluta

En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.

Definición formal

Convergencia absoluta y convergencia

Demostración

Supongamos que ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$ converge por hipótesis. ${\displaystyle -|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ Sumamos ${\displaystyle |a_{n}|}$ término a término en la desigualdad: ${\displaystyle |a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|\Longrightarrow 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Longrightarrow 0\leq \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}+|a_{n}|)}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }{|a_{n}|}}$ Por tanto, ${\displaystyle \sum {(a_{n}+|a_{n}|)}}$ es convergente. Ahora se considera que ${\displaystyle a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N} }$. ${\displaystyle \Longrightarrow \sum {a_{n}}=\sum {(a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|)}=\sum {(a_{n}+|a_{n}|)}-\sum {|a_{n}|}}$ Entonces, ${\displaystyle \sum {a_{n}}}$ es convergente por ser diferencia de series convergentes.

Convergencia condicional

Esto sucede cuando ${\displaystyle \sum {|a_{n}|}}$ es divergente.

Por ejemplo, la serie ${\displaystyle \sum {(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}}$ es condicionalmente convergente porque ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}=\log(2)}$ (utilizando la serie de Taylor del logaritmo), mientras que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\left\vert (-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\right\vert }=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty }$, pues es la serie armónica.

Teorema de reordenación de Riemann

Una propiedad de las series condicionalmente convergentes es que no son reordenables, a diferencia de las absolutamente convergentes: cualquier reordenación de los términos de una serie absolutamente convergente da lugar a la misma suma.

Sin embargo, para series condicionalmente convergentes esto no es cierto: reordenar los términos de la serie puede cambiar su suma. De hecho, es cierto un resultado mucho más fuerte, el teorema de reordenación de Riemann, que afirma que podemos reordenar una serie condicionalmente convergente para que su suma sea cualquier número real, o incluso para hacerla divergente:

La demostración del teorema puede leerse en su propia página: Teorema de Riemann (series).

Véase también

• Serie convergente
• Serie matemática
• Convergencia (matemáticas)
• Integral impropia

Esta página se editó por última vez el 10 feb 2024 a las 11:31.