Число Белла

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений ${\displaystyle n}$-элементного множества, обозначаемое ${\displaystyle B_{n}}$, при этом по определению полагают ${\displaystyle B_{0}=1}$.

Значения ${\displaystyle B_{n}}$ для ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ образуют последовательность^[1]:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, …

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить ${\displaystyle n}$ пронумерованных шаров по ${\displaystyle n}$ идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из ${\displaystyle n}$ простых множителей^[2].

Числа Белла названы в честь Эрика Белла, который писал о них в 1930-х годах.

Математические свойства

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

${\displaystyle B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m),}$

а также задать в рекуррентной форме:

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.}$

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского^[3]:

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

Если ${\displaystyle p}$ — простое, то верно сравнение Тушара:

${\displaystyle B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}}$

и более общее:

${\displaystyle B_{n+p^{m}}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.}$

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

Примечания

Литература

• Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — УДК 51(0.062)^(G). — ISBN 978-5-9774-0682-6.
• Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2006. — 392 с. — ISBN 5-06-005683-X.

Ссылки

• Bell, E. T. (1934). “Exponential polynomials”. Annals of Mathematics. 35: 258—277. DOI:10.2307/1968431. JSTOR 1968431..
• Bell, E. T. (1938). “The iterated exponential integers”. Annals of Mathematics. 39: 539—557. DOI:10.2307/1968633. JSTOR 1968633..

Эта страница в последний раз была отредактирована 22 февраля 2022 в 14:47.