Метод трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a)+E(f),\qquad E(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(b-a\right)^{3}.}$

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной

${\displaystyle \left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\left|f''(x)\right|}$

(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже).

Составная формула

Если отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ разбивается узлами интегрирования ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$, так что ${\displaystyle x_{0}=a}$ и ${\displaystyle x_{n}=b}$, и на каждом из элементарных отрезков ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}(x_{i+1}-x_{i})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(f(a)(x_{1}-a)+\sum _{i=1}^{n-1}{f(x_{i})(x_{i+1}-x_{i-1})}+f(b)(b-x_{n-1})).}$

Формула Котеса

В случае равномерной сетки ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$, где ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f_{i}\right)+E_{n}(f),}$

причём для погрешности справедлива оценка

${\displaystyle E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(b-a)h^{2}.}$

Свойства

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.

Эта страница в последний раз была отредактирована 29 июня 2023 в 09:03.