Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году^[1]. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано»^[2].

Любое кубическое уравнение общего вида

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

при помощи замены переменной

${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}}$

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}$

Формула

Определим величину^[3]:

${\displaystyle Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.}$

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней^[3]:

• ${\displaystyle Q>0}$ — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
• ${\displaystyle Q=0}$ — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если ${\displaystyle p=q=0}$, то один трёхкратный вещественный корень.
• ${\displaystyle Q<0}$ — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел^[3].

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

${\displaystyle y_{1}=\alpha +\beta ,}$

${\displaystyle y_{2,3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},}$

где

${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},}$

${\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},}$

Дискриминант многочлена ${\displaystyle y^{3}+py+q}$ при этом равен ${\displaystyle \Delta =-108Q}$.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений ${\displaystyle \alpha }$ необходимо брать такое ${\displaystyle \beta }$, для которого выполняется условие ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3}$ (такое значение ${\displaystyle \beta }$ всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения ${\displaystyle \alpha ,\beta }$.

См. также

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Резольвента алгебраического уравнения
• Тарталья, Никколо
• Теорема Абеля — Руффини

Литература

• Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. Справочник по высшей математике в двух томах. — Минск: Тетрасистемс, 1999. — 640 с. — ISBN 985-6317-51-7.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.

Примечания

Ссылки

• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
• http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf

Эта страница в последний раз была отредактирована 12 марта 2024 в 10:33.